00.复习清单6

1

证明一个数列是等差或等比数列，一定要用大一项减去（比上）小一项得出为常数，然后才能说明为等差/等比数列，再然后要说明 an 是一个首项为多少、公差/公比为多少的等差数列。

这样才能满分。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.1 等差与等比数列/6.1.1 等差数列/6.1.1.1 等差数列的基本公式与性质(一轮).html#_3

2

两项的式子相乘，分为同次项相乘，还有不同次项交叉相乘。同次项相乘的结果不能合并，不同次项交叉相乘的结果可以合并。比如下面：

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3

等差数列的求和公式形式为 $A n^{2} + n$ ，图像为一个过原点的二次函数图像。
等比数列的求和公式形式为 $A (1 - q^{n}) = A^{'} (q^{n} - 1)$ ，图像为指数函数图像
- 所以如果一个等比数列的求和公式为 $2^{n} - 1$ ，那么可以直接得出公比为 2.
无论等比还是等差， $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.1 等差与等比数列/6.1.2 等比数列/6.1.2.1 等比数列的基本公式与性质(一轮).html#_9

4

等差数列的连续和还是为等差数列
等比数列的连续和为等比数列
- 连续之积也为等比数列。
这些连续项可以重叠。
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.1 等差与等比数列/6.1.2 等比数列/6.1.2.1 等比数列的基本公式与性质(一轮).html#_6

5

掌握通项型数列选择速解技巧
- 奇数项要用 a2 验证，偶数项用 a1 验证

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.1 通项公式与递推公式基础/6.2.1.1 通项型数列选择速解技巧(一轮).html#笔记

6

累加法、累乘法，最后从上到下、从最后一项开始写，因为要知道有多少项
累乘法，从 $a_{n}$ 开始写，因为要的是 $a_{n}$ 的通项
使用累加法、累乘法，一般不用验证 $a_{1}$ 。因为我们写递推式的时候，是省略了 $a_{1} = a_{1}$ 这一行的。

7

公比为 2 或 1/2 的等比数列，求和 $S_{n} = (2 \times 最大的一项) - (最小的一项)$

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.1 等差与等比数列/6.1.2 等比数列/6.1.2.1 等比数列的基本公式与性质(一轮).html#笔记

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.1 等差与等比数列/6.1.2 等比数列/6.1.2.1 等比数列的基本公式与性质(一轮).html#_1

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.2 项与项递推求通项/6.2.2.1 累加法与累乘法(一轮).html#_3

8

知道了一阶线性递推公式，知道怎么求通项公式。
- 同除 $q^{n}$ ，或使用待定系数法。
对于 $a_{n + 1} = q a_{n} + f (n)$ 这种一阶线性递推，若 $q^{n} = f (n)$ ，那么同除 $q^{n + 1}$ 简单，待定系数用简单的待定求不出来，要用更复杂的待定系数法。
- http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.2 项与项递推求通项/6.2.2.2 一阶线性递推求通项(一轮).html#_8

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.2 项与项递推求通项/6.2.2.2 一阶线性递推求通项(一轮).html#笔记

9

理解利用辅助数列求通项的方法。

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.2 项与项递推求通项/6.2.2.3 利用辅助数列求通项(一轮).html#笔记

10

任何一个复杂的数列背后，都有一个简单的数列（辅助数列）
学会通过命题思路，对于无辅助数列题，逆推求通项

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.2 项与项递推求通项/6.2.2.4 无辅助数列递推求通项(一轮).html#_6-2-2-4-无辅助数列递推求通项-一轮

11

知道如何解项与和的递推公式求通项的题。
- 知道该消 $S_{n}$ 还是 $a_{n}$

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.3 项与和递推求通项/6.2.3.1 项与和的递推求通项(一轮).html#笔记

12

特殊和求通项，做法类似于“项与和求通项”

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.3 项与和递推求通项/6.2.3.2 特殊和求通项(一轮).html#笔记

13

形如 $a_{n} = a_{1} + 2 a_{2} + 3 a_{3} + . . . + (n - 1) a_{n - 1} (n >= 2)$ 这种，递推项中还有很多带有角标的项。当我们算第 n 项时，要代入最后的那个通项，而不是看角标。
- 比如求 $a_{2}$ ，那么代入最后的那个通项，得到 $a_{2} = . . . + 1 a_{1}$ ，所以 $a_{2} = a_{1}$
- 求 $a_{3}$ ，代入最后的那个通项，得到 $a_{3} = . . . + 2 a_{2}$ 。
- 错误做法： $a_{2} = a_{1} + 2 a_{2}$

http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.3 项与和递推求通项/6.2.3.2 特殊和求通项(一轮).html#_8

14

为什么有时候需要验证 a_1 是否符合首项，而有时候不需要验证首项？
- 因为我们写累加法或累乘法时，如果从上到下写，角标最小的一行没有包括 $a_{1}$ ，那么说明我们推出来的通项也不包含 $a_{1}$ 。而如果包含了 $a_{1}$ ，那么就说明通项公式也一定满足 $a_{1}$

举例：

当写累加或累减项时，未包含 $a_{1}$ ，那么需要验证 $a_{1}$ 是否符合通项。或者使用 $S_{n} - S_{n - 1} = a_{n}$ 式子，得出 $a_{n}$ 的表达式，也要验证 $a_{1}$ 是否符合通项。
- 这道题第二问: http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.3 项与和递推求通项/6.2.3.2 特殊和求通项(一轮).html#_11
当式子中使用累加或累乘时，一定会包含 $a_{1}$ ，那么就不需要验证了。
- 第一问: http://localhost:5173/gaozhong/02_数学/01_一轮/6 数列/6.2 求通项公式/6.2.3 项与和递推求通项/6.2.3.2 特殊和求通项(一轮).html#_11

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