难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题求四边形面积抛物线阿基米德三角形抛物线同构

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

易知，$AB//CD$

$A(x_1,x_1^2),B(x_2,x_2^2)$

$C(x_3,x_3^2),D(x_4,x_4^2)$

$k_{AB}=\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=x_1+x_2$

$k_{BC}=\frac{x_3^2-x_4^2}{x_3-x_4}=x_3+x_4$

所以 $x_1+x_2=x_3+x_4$

$\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{x_3+x_4}{2}$

所以 $x_M=x_N$

所以 MN 垂直于 x 轴。

解（2）

$A(x_1,x_1^2),B(x_2,x_2^2)$

$P(x_0,y_0)$

$C(\frac{x_0+x_1}{2},\frac{x_1^2+y_0}{2})$

$D(\frac{x_0+x_2}{2},\frac{x_2^2+y_0}{2})$

所以 $\frac{x_1^2+y_0}{2}=\frac{(x_0+x_1{)}^2}{4}$

$2x_1^2+2y_0=x_0^2+2x_0{x}_1+x_1^2$

$x_1^2-2x_0{x}_1+2y_0-x_0^2=0$

同理，

$x_2^2-2x_0{x}_2+2y_0-x_0^{2}0$

所以 $x_1,x_2$ 是方程 $x^2-2x_{0}x+2y_0-x_0^2=0$ 的两个解

$x_1{x}_2=2y_0-x_0^2,x_1+x_2=2x_0$

所以 $MNP$ 三点共线，且垂直于 x 轴

$M(x_0,\frac{x_1^2+x_2^2}{2})$

$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2$

$=4x_0^2-2(2y_0-x_0^2)$

$=6x_0^2-4y_0$

$=6-6y_0^2-4y_0$

$M(x_0,\frac{6-6y_0^2-4y_0}{2})$

$|PM|=|\frac{6-6y_0^2-6y_0}{2}|=|3-3y_0^2-3y_0|$

$|x_1-x_2|=\sqrt{(x_1+x_2{)}^2-4x_1{x}_2}$

$=\sqrt{4x_0^2-8y_0+4x_0^2}$

$=\sqrt{8x_0^2-8y_0}$

$=2\sqrt{2}\sqrt{1-y_0^2-y_0}$

$S_{PAB}=\frac{1}{2}|PM||x_1-x_2|$

$=\frac{1}{2}3|1-y_0^2-y_0|2\sqrt{2}\sqrt{1-y_0^2-y_0}$

$=3\sqrt{2}(1-y_0^2-y_0{)}^{\frac{3}{2}},y_0\in [-1,0)$

当 $y_0=-\frac{1}{2}$ 时，(1-y_0^2-y_0)_{max}={5\over 4}$

$S_{PAB-max}=3\sqrt{2}\times \frac{5}{4}\times \sqrt{\frac{5}{4}}$

$=\frac{15\sqrt{2}}{4}\times \frac{\sqrt{5}}{2}=\frac{15\sqrt{10}}{8}$

$S_{ABDC}=\frac{3}{4}\times S_{PAB}=\frac{3}{4}\times \frac{15\sqrt{10}}{8}=\frac{45\sqrt{10}}{32}$

TIP

只要在抛物线外有一个点 $P$ 作了两条线，这两条线与抛物线交了四个点 A,B,C,D，

同时 CD 是平行于 AB 的，则 AB、CD 的中点 M、N 在一条水平线或竖直线上（取决于抛物线的开口方向，向上就是在一条竖直线上，向右就是在一条水平线上），

且 $PMN$ 三点共线。

-

有点类似阿基米德三角形。

TIP

三角形的两边的等分点相连，则等分线与底边是平行的。

TIP

抛物线上两点构成的直线的斜率是非常好写的。比如 $A(x_1,x_1^2),B(x_2,x_2^2)$

则 $k_{AB}=\frac{x_1^2-x_2^2}{x_1-x_2}=x_1+x_2$

TIP

假设有条件：已知 A，B 是抛物线 $E:y=x^2$ 上不同的两点，点 $P$ 在 $x$ 轴下方，$PA$ 与抛物线 $E$ 交于点 $C$，PB 与抛物线 E 交与点 D，且满足 $\frac{|PA|}{|PC|}=\frac{|PB|}{|PD|}=\lambda$，其中 $\lambda$ 是常数，且 $\lambda \ne 1$

则图像不应该这样画，这样画是不存在的：

正确的应该这样画：

TIP

像这种题，首先要建立一组同构关系。

有平行关系的话，先把最外面的点设出来，然后用外面的点表示中间的点（一般是中点，如果不是中点而是三等分点等，可能需要用向来来求坐标）。

中点坐标表达出来后，再表达中点在抛物线上，会得到两个关于 $x_1,x_2$ 的同构方程，

最后算面积，先算大三角形面积，然后求什么面积，就根据倍数来求。

$S=\frac{1}{2}absin\theta$

如果是二等分点，那么 $S_1=\frac{1}{2}\frac{1}{2}a\cdot \frac{1}{2}bsin\theta =\frac{1}{4}S$