难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$c=1$

$\frac{1}{a^2}+\frac{\frac{c^2}{a^2}}{b^2}=1$

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{a^2{b}^2}=1$

$1+\frac{1}{b^2}=a^2$

$\frac{b^2+1}{b^2}=b^2+1$

$b^2=1$

$a^2=b^2+c^2=2$

$E:\frac{x^2}{2}+y^2=1$

解（2）

设 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$

设直线 $AC:y=kx+m$

$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OB}$

$=(x_1+x_2,y_1+y_2)$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{2}+y^2=1,x^2+2y^2-2=0\\ y=kx+m\end{array}$

$(2k^2+1)x^2+4kmx+2m^2-2=0$

$x_1+x_2=\frac{-4km}{2k^2+1}$

$y_1+y_2=k(x_1+x_2)+2m=\frac{-4k^{2}m+4k^{2}m+2m}{2k^2+1}=\frac{2m}{2k^2+1}$

所以 $B(\frac{-4km}{2k^2+1},\frac{2m}{2k^2+1})$

$\frac{16k^2{m}^2}{(2k^2+1{)}^2}+2\frac{4m^2}{(2k^2+1{)}^2}-2=0$

$8k^2{m}^2+4m^2=(2k^2+1{)}^2$

$4m^2(2k^2+1)=(2k^2+1{)}^2$

$4m^2=2k^2+1$

$S=2\times \frac{1}{2}\times |x_1-x_1||m|$

$=\frac{\sqrt{4\times 2\times 1(2k^2+1-m^2)}}{2k^2+1}|m|$

$=\frac{\sqrt{8\times 3m^2}}{4m^2}|m|$

$=\sqrt{\frac{24m^2}{16m^2}}$

$=\sqrt{\frac{6}{4}}=\frac{\sqrt{6}}{2}$

TIP

直线 $l$ 与 E 交于 A、B 点，95% 设这条直线。

平行四边形条件该怎么翻译？

根据向量的平行四边形法则翻译。

解题思路

表达两个东西，

一、$\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}$

得出 B 点坐标 $B(x_1+x_2,y_1+y_2)$，所以联立直线和椭圆方程，使用韦达定理

再用 $k,m$ 表示 B 点

B 点 $(\frac{-4km}{2k^2+1},\frac{2m}{2k^2+1})$

二、B 点在椭圆上

将用 $k,m$ 表示的 B 点代入椭圆方程，得到关于 $k,m$ 的关系式。

焦距的含义

$\mathrm{焦}\mathrm{距}=2c=F_1{F}_2$

注意 c 是半焦距，不是焦距！