15 两向量的和与差的模

说说

当题目出现形如 $|3\overrightarrow{a}\pm 4\overrightarrow{b}|$ 时，可以选择的解题方法：

$\{\begin{array}{l}\mathrm{平}\mathrm{方}(96\mathrm{\%})\\ \mathrm{建}\mathrm{系}\\ \mathrm{在}\mathrm{坐}\mathrm{标}\mathrm{系}\mathrm{里}\mathrm{画}\mathrm{图}，\mathrm{看}\mathrm{规}\mathrm{律}\end{array}$

例题 1

已知单位向量 $\overrightarrow{a},\overrightarrow{b}$ 满足 $|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=\sqrt{3}$，若 $\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c},\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}$ 共线，则 $|\overrightarrow{c}|$ 的最小值为（）。

解：

法一，常规能想到的方法：

$(\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{)}^2=(\sqrt{3}{)}^2$

$\therefore {\overrightarrow{a}}^2+{\overrightarrow{b}}^2-2\overrightarrow{b}\overrightarrow{a}=3$

$-\frac{1}{2}=\overrightarrow{a}\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot |\overrightarrow{b}|\cdot \cos \theta$

$\therefore cos\theta =-\frac{1}{2}$

$|\overrightarrow{c}{|}^2=\frac{|\overrightarrow{a}-\lambda \overrightarrow{b}{|}^2}{|1-\lambda {|}^2}$

$=\frac{{\overrightarrow{a}}^2+{\lambda }^2{\overrightarrow{b}}^2-2\lambda \overrightarrow{a}\overrightarrow{b}}{{\lambda }^2-2\lambda +1}$

$=\frac{{\lambda }^2+\lambda +1}{{\lambda }^2-2\lambda +1}$

这时候就是遇到分子分母都是二次的解值域的问题了。

令 $t=|{\overrightarrow{|}}^2=\frac{{\lambda }^2+\lambda +1}{{\lambda }^2-2\lambda +1}$

那么 ${\lambda }^2+\lambda +1=t({\lambda }^2-2\lambda +1)$

$\therefore (t-1){\lambda }^2-(2t+1)\lambda +t-1=0\mathrm{一}\mathrm{定}\mathrm{有}\mathrm{解}$

$\mathrm{那}\mathrm{么}\mathrm{就}\mathrm{就}\mathrm{意}\mathrm{味}\mathrm{着}\mathrm{\Delta }\ge 0$

$\mathrm{\Delta }=(2t+1{)}^2-4(t-1{)}^2\ge 0$

$4t^2+4t+1-4t^2+8t-4\ge 0$

$12t\ge 3$

$t\ge \frac{1}{4}$

$\therefore |\overrightarrow{c}|=\sqrt{t}\ge \frac{1}{2}$

法二，建系法，更简单

因为我们已经知道角度了，所以可以建系。

$\overrightarrow{a}=(1,0)$

$\overrightarrow{b}=(-\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2})$

令 $\overrightarrow{c}=(x,y)$

$\overrightarrow{a}-\overrightarrow{c}=(1-x,-y)$

$\overrightarrow{b}-\overrightarrow{c}=(-\frac{1}{2}-x,\frac{\sqrt{3}}{2}-y)$

因为共线，

$\therefore (1-x)(\sqrt{3}-y)=y(x+\frac{1}{2})$

$xy-\frac{\sqrt{3}}{2}x-y+\frac{\sqrt{3}}{2}=xy+\frac{1}{2}y$

$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}x+\frac{3}{2}y$

$1=x+\sqrt{3}y$

$x=1-\sqrt{3}y$

所以 $|\overrightarrow{c}{|}^2=x^2+y^2=(\sqrt{3}y-1{)}^2+y^2$

$=3y^2+y^2-2\sqrt{3}y+1$

$=4y^2-2\sqrt{3}y+1$

$=4(y-\frac{\sqrt{3}}{4}{)}^2+\frac{1}{4}\ge \frac{1}{4}$

所以 $|\overrightarrow{c}|\ge \frac{1}{2}$

法三，空间法