15 基础课：宇宙速度

第一宇宙速度

第一宇宙速度：卫星的最小发射速度，也是地球卫星的最大环绕速度（当作近地卫星的环绕速度）。

根据 $mg=m\frac{v^2}{R},v=\sqrt{gR}$，约为 $7.9km/s$（$\frac{1}{10}$ 个花西子 km/s）

如何理解

如果让卫星绕地球做圆周运动，那么根据高轨低速大周期，当卫星是近地卫星时，卫星速度最大。

如果想让卫星的轨道半径增大，那么根据公式 $\frac{GMm}{r^2}=m\frac{v^2}{r}$，此时突然增大 $v$，其它物理量不变，那么 $\frac{GMm}{r^2}<m\frac{v^2}{r}$，也就是 $F_{\mathrm{提}}<F_{\mathrm{需}}$，那么卫星将做离心运动，轨道半径增加。当轨道半径达到某个值 $r_1$ 时，突然调整速度使得满足公式 $\frac{GMm}{r_1^2}=m\frac{v_1^2}{r_1}$，那么卫星就将做匀速圆周运动。此时的速度 $v_1$ 和近地卫星的速度 $v$ 相比，$v_1<v$。

所以结论就是：想要让卫星的轨道半径增大，那么就要增大卫星速度，使之做离心运动，达到目标轨道半径后再降低速度使卫星能做匀速圆周运动。

第二宇宙速度

第二宇宙速度：脱离地球引力的最小速度（太阳的引力将大于地球的引力，卫星绕太阳做圆周运动）

引力 $\frac{GMm}{r^2}$ 与 $r^2$ 成反比，两个行星的距离 $r$ 越小，引力越大。当卫星与地球的距离超过某个值时，太阳的引力就大于地球对卫星的引力。

第三宇宙速度

第三宇宙速度：冲出太阳系的最小速度

宇宙速度

TIP

第二宇宙速度是第一宇宙速度的 $\sqrt{2}$ 倍。

例题

题 1

解

A

题 2

TIP

地球卫星速度的发射速度在 $v_1$ 到 $v_2$ 之间，环绕速度小于等于 $v_1$

解

$BD$

题 3

解

$mg=\frac{v^2}{R}$

$v_{\mathrm{月}}:v_{\mathrm{地}}=\sqrt{\frac{g_{\mathrm{月}}{R}_{\mathrm{月}}}{g_{\mathrm{地}}{R}_{\mathrm{地}}}}=\sqrt{\frac{1}{6}\times \frac{1}{4}}=\sqrt{\frac{1}{24}}=\frac{1}{5}$

$B$

题 4

解

$\frac{GM}{R^2}=g$

$\frac{g_J}{g_H}=\frac{M_J}{M_H}\times \frac{R_H^2}{R_J^2}$

$=\frac{k}{n^2}$

A 错。

$v=\sqrt{gR}$

$\frac{v_J}{v_H}=\sqrt{\frac{g_J{R}_J}{g_H{R}_H}}$

$=\sqrt{\frac{k}{n^2}n}=\sqrt{\frac{k}{n}}$

B 对。

C 错。

D 错。

$B$