难度： 困难

标签： 权方和不等式配凑最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知 $x,y>0$，$\frac{1}{x}+\frac{2\sqrt{2}}{y}=1$，求 $\sqrt{x^2+y^2}$ 的最小值（）

解

利用权方不等式的推论求解。

$1=\frac{1^{\frac{3}{2}}}{(x^2{)}^{\frac{1}{2}}}+\frac{2^{\frac{3}{2}}}{(y^2{)}^{\frac{1}{2}}}\ge \frac{(1+2{)}^{\frac{3}{2}}}{(x^2+y^2{)}^{\frac{1}{2}}}$

所以 $\sqrt{x^2+y^2}⩾3^{\frac{3}{2}}=3\sqrt{3}$

当 $\frac{1}{x^2}=\frac{2}{y^2}$ 且 $\frac{1}{x}+\frac{2\sqrt{2}}{y}=1$ 时，

即 $x=3,y=3\sqrt{2}$ 时取等。