难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题定点定值问题切线问题双切线问题抛物线同构

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$1=\frac{p}{2},p=2$

$y^2=4x$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=4x\\ x=my-1\end{array}$

$y^2-4my+4=0$

$y_1+y_2=4m$

$y_1{y}_2=4$

$y_1:y_2=4:1$

$4y_2=y_1$

$4y_2^2=4$

$y_2=1$

$y_1=4$

$x_1=\frac{y_1^2}{4}=4$

$x_2=\frac{y_2^2}{4}=\frac{1}{4}$

$|\frac{FA}{FB}|=\frac{x_1+1}{x_2+1}=\frac{5}{\frac{5}{4}}=4$

解（2）

$l_{AP}:(y_1+4)y=4x+4y_1$

$4x-(y_1+4)y+4y_1=0$

$r=\frac{|16+4y_1|}{\sqrt{16+(y_1+4{)}^2}}$

$r^2=\frac{[4(4+y_1){]}^2}{y_1^2+8y_1+32}$

$(y_1^2+8y_1+32)r^2=16(y_1^2+8y_1+16)$

$(r^2-16)y_1^2+(8r^2-128)y_1+32r^2-256=0$

同理，$(r^2-16)y_2^2+(8r^2-128)y_2+32r^2-256=0$

所以 $y_1,y_2$ 是 $(r^2-16)y^2+(8r^2-128)y+32r^2-256=0$ 两个解。

$y_1+y_2=\frac{-(8r^2-128)}{r^2-16}=-8$

$y_1{y}_2=\frac{32r^2-256}{r^2-16}$

$l_{PQ}:(y_1+y_2)y=4x+y_1{y}_2$

$-8y=4x+\frac{32r^2-256}{r^2-16}$

需要化简一下，不然后面用这直线算出来的数字很大，不好算

$-2y=x+\frac{8r^2-64}{r^2-16}$

$x+2y+\frac{8r^2-64}{r^2-16}=0$

令 $m=\frac{8r^2-64}{r^2-16}=\frac{1}{4}{y}_1{y}_2$（$y_1{y}_2=4m$）

其实不用联立……因为只是求弦长只需要知道直线方程和 $y_1+y_2,y_1{y}_2$ 的值就行了。我们现在已经知道了……

$x+2y+m=0$

与开口向右的抛物线联立，反设直线比较简单

$\{\begin{array}{l}{y}^2=4x\\ x+2y+m=0\end{array}$

$y^2-4(-2y-m)=0$

$y^2+8y+4m=0$

$y_1{y}_2=4m,y_1{y}_2=-8$

$|PQ|=\sqrt{1+4}|y_1-y_2|$

$=\sqrt{5}\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}$

$=\sqrt{5}\sqrt{64-16m}$

$=4\sqrt{5}\sqrt{4-m}$

$d_n=\frac{|12+m|}{\sqrt{5}}$

$S=\frac{1}{2}4\sqrt{5}\sqrt{4-m}\frac{12+m}{\sqrt{5}}$

$=2\sqrt{(4-m)(12+m{)}^2}$

$f(m)=(4-m)(12+m{)}^2$

$f^{\prime }(m)=(12+m)(-4-3m)$

$m=\frac{8(r^2-16)+128-64}{r^2-16}=8+\frac{64}{r^2-16},r\in (0,2\sqrt{3}]$ 单调递减，

所以 $m\in [-8,4)$

$f(m{)}_{max}=f(-\frac{4}{3})=\frac{16}{3}\times (\frac{36-4}{3}{)}^2$

$=\frac{16}{3}\times \frac{{32}^2}{3^2}$

$S=2\times 4\sqrt{3}\frac{32}{3}$

$=\frac{256\sqrt{3}}{9}$

TIP

表示圆与直线相切，用直线到圆心的距离 $=r$ 这个数学等式翻译。

TIP

抛物线中，如果有有向量 $\overrightarrow{AE}=4\overrightarrow{BE}$ 这种几倍数关系，

那么我们要想想能否把 $A,B$ 点的坐标求出来。90% 的概率能求出来。

题型

抛物线弦两点式参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/656589858

遇到抛物线里面，有个圆，过抛物线上的一点 $(x_0,y_0)$ 做圆的两条切线，两条切线与抛物线交另外两个点。

那么像这种两个点都在抛物线上的切线，切线可以用抛物线的两点式方程表示。

比如抛物线 $x^2=2py$ 上的两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，那么直线 $l_{AB}:(x_1+x_2)x=2py+x_1{x}_2$

比如抛物线 $y^2=2px$ 上的两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，那么直线 $l_{AB}:(y_1+y_2)y=2px+y_1{y}_1$

记忆方式：

如果是 $x^2=2py$，那么换一半，$x^2\to (x_1+x_2)x$。$2py$ 不变，右边的式子加另一个关于 $x$ 的韦达定理 $x_1{x}_2$。$(x_1+x_2)x=2py+x_1{x}_2$

如果是 $y^2=2px$，那么换一半，$y^2\to (y_1+y_2)y$。$2px$ 不变，右边的式子加另一个关于 $y$ 的韦达定理 $y_1{y}_2$。$(y_1+y_2)y=2px+y_1{y}_1$

TIP

如果 $y=kx+b$ 与 $x=my+n$ 表示的是相同的一条直线，

那么 $k$ 与 $m$ 的关系是互为倒数（不是负数的倒数）。

比如 $x=\frac{y-b}{k}$

TIP

如果直线方程能化简，那么需要化简，否则后面根据这个直线进行的计算：弦长方式、点到直线距离、曲线直线联立求韦达定理等等

计算都会受到影响，数字变得很大，每次乘都是一个很大的数，提高了计算难度。