难度： 中等

标签： 权方和不等式三元不等式最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知正数 $x,y,z$ 满足 $xyz⩾1$，则 $\frac{x^2}{y+2z}+\frac{y^2}{z+2x}+\frac{z^2}{x+2y}$ 的最小值为（）

解

$\mathrm{原}\mathrm{式}⩾\frac{x+y+z}{3}⩾\sqrt[3]{xyz}⩾1$

当 $\frac{x}{y+2z}=\frac{y}{z+2x}=\frac{z}{x+2y}$ 时，

即 $x=y=z$ 时取第一个等号。

当 $xyz=1$ 时取第二个等号。

所以 $x=y=z=1$