难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$k_{MA}{k}_{MB}=-\frac{b^2}{a^2}=-\frac{1}{4}$

$a^2=4b^2$

$b=1$

$a^2=4$

$\frac{x^2}{4}+y^2=1$

解（2）

设直线 $y=kx,E(x_1,y_1),F(x_2,y_2)$

$|d|=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{|k{x}_0-y_0|}{\sqrt{k^2+1}}$

$\frac{4}{5}=\frac{k^2{x}_0^2-2k{x}_0{y}_0+y_0^2}{k^2+1}$

$4k^2+4=5k^2{x}_0^2-10k{x}_0{y}_0+5y_0^2$

$(5x_0^2-4)k^2-10x_0{y}_{0}k+5y_0^2-4=0$

$k_1+k_2=\frac{10x_0{y}_0}{5x_0^2-4}$

$k_1{k}_2=\frac{5y_0^2-4}{5x_0^2-4}=\frac{5(1-\frac{x_0^2}{4})-4}{5x_0^2-4}$

$=\frac{1-\frac{5x_0^2}{4}}{5x_0^2-4}$

$=-\frac{1}{4}$

$\{\begin{array}{l}{x}^2+4y^2-4=0\\ y=k_{1}x\end{array}$

$x^2+4k_1{x}^2-4=0$

$(4k_1^2+1)x^2=4$

$x_1^2=\frac{4}{4k_1^2+1}$

$y_1^2=\frac{4k_1^2}{4k_1^2+1}$

同理，

$x_2^2=\frac{4}{4k_2^2+1}$

$y_2^2=\frac{4k_2^2}{4k_2^2+1}$

所以 $O{E}^2+O{F}^2=\frac{4}{4k_1^2+1}+\frac{4k_1^2}{4k_1^2+1}+\frac{4}{4k_2^2+1}+\frac{4k_2^2}{4k_2^2+1}$

$=\frac{4+4k_1^2}{4k_1^2+1}+\frac{4+4k_2^2}{4k_2^2+1}$

$=\frac{3+1+4k_1^2}{4k_1^2+1}+\frac{3+1+4k_2^2}{4k_2^2+1}$

$=1+1+\frac{3}{4k_1^2+1}+\frac{3}{4k_2^2+1}$

$=2+3\times \frac{4(k_1^2+k_2^2)+2}{16k_1^2{k}_2^2+4(k_1^2+k_2^2)+1}$

$=2+3\times 1$

$=5$

TIP

别看错了，是直线与椭圆的交点，不是切点！

TIP

$x_0,y_0$ 在椭圆上，可能会用到椭圆方程消元。

$k_1+k_2$ 含有 1 次，不好化简。

$k_1+k_2$ 含有 $y_0^2$，可以尝试化简，这种意思一定要有！

TIP

虽然不用弦长公式也能做出来，但是也要想到弦长公式。