05 等比数列的前 n 项和

推导

采用错位相减法

$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$

$S_n=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2+...+a_1{q}^{n-1}$

$q{S}_n=a_{1}q+a_1{q}^2+...+a_1{q}^{n-1}+a_1{q}^n$

用 1 式减 2 式，得

$(1-q)S_n=a_1-a_1{q}^n$

所以

$S_n=\{\begin{array}{l}n{a}_1,q=1\\ \frac{a_1(1-q^n)}{1-q},q\ne 1\mathrm{且}q\ne 0\end{array}$

例子

已知等比数列 $a_n$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，若 $a_2{S}_4=a_4{S}_2$，则 $\frac{a_{2019}}{a_1}=$（）。

$A.1$

$B.-1$

$C.2019$

$D.-2019$

解：

$A.$