难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆斜率和问题抛物线角平分线

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知椭圆 C：$\begin{array}{r}\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0)\end{array}$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$，且经过点 $(\sqrt{6},2)$，椭圆 C 的右顶点到抛物线 $E:y^2=2px(p>0)$ 的准线的距离为 4.

（I）求椭圆 C 和抛物线 E 的方程；

（II）设与两坐标轴都不垂直的直线 $l$ 与抛物线 E 相交于 A、B 两点，与椭圆 C 相交于 M，N 两点，O 为坐标原点，O 为坐标原点，若 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=-4$，则在 $x$ 轴上是否存在点 H，使得 $x$ 轴平分 $\mathrm{\angle }MHN$？若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，请说明理由。

解（I）

$\frac{c}{a}=\frac{1}{2}$

$a=2c$

$\frac{4}{a^2}+\frac{6}{b^2}=1$

$\frac{4}{a^2}+\frac{6}{a^2-c^2}=1,$

$\frac{4}{4c^2}+\frac{6}{3c^2}=1$

$\frac{1}{c^2}+\frac{2}{c^2}=\frac{3}{c^2}=1$

$c^2=3$

$a^2=12,b^2=a^2-c^2=12-3=9$

$C:\frac{y^2}{12}+\frac{x^2}{9}=1$

$\frac{p}{2}+3=4$

$p=2$

$E:y^2=4x$

解（II）

设 $l:y=kx+m$

$\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y^2=4x\end{array}$

$(kx+m{)}^2-4x=0$

$k^2{x}^2+(2mk-4)x+m^2=0$

$x_1{x}_2=\frac{m^2}{k^2}$

$x_1+x_2=\frac{4-2mk}{k^2}$

$y^2=4\frac{y-m}{k}$

$y^2-\frac{4}{k}y+\frac{4m}{k}=0$

$y_1{y}_2=\frac{4m}{k}$

设与抛物线的交点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=-4$

$\frac{m^2}{k^2}+\frac{4mk}{k^2}=-4$

$m^2+4mk=-4k^2$

$4k^2+4mk+m^2=0$

$(2k+m{)}^2=0$

$m=-2k$

$y=kx-2k=k(x-2)$

所以 $l$ 过定点 $(2,0)$

设点 $H(t,0),M(x_3,y_3),N(x_4,y_4)$

$\frac{y_3}{x_3-t}+\frac{y_4}{x_4-t}=0$

因为 $y=k(x-2)$，所以 $x=\frac{y}{k}+2$，令 $\frac{1}{k}=m,x=my+2$

所以 $\frac{y_3}{m{y}_3+2-t}+\frac{y_4}{m{y}_4+2-t}=0$

$⟺\frac{m{y}_3+2-t}{y_3}+\frac{m{y}_4+2-t}{y_4}=0$

$m+\frac{2-t}{y_3}+m+\frac{2-t}{y_4}=0$

$2m+\frac{(2-t)(y_3+y_4)}{y_3{y}_4}=0$

$2m+(2-t)\frac{4m}{5}=0$

$1+(2-t)\frac{2}{5}=0$

$\frac{2}{5}t=1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}$

$t=\frac{9}{2}$

所以存在点 $H(\frac{9}{2},0)$

遇到坐标轴为角平分线的条件，该怎么翻译？

$k_1+k_2=0$

TIP

遇到这种 $\frac{y_3}{x_3-t}+\frac{y_4}{x_4-t}=0$ 这种加法 $+$ 式子，需要统一自变量，全部换为 $x$ 或 $y$

TIP

$x=my+n$，

这里的 $n$ 代表横截距。（不是纵截距）

加法，等价于倒数相加的条件

$\frac{y_3}{m{y}_3+2-t}+\frac{y_4}{m{y}_4+2-t}=0$

$⟺\frac{m{y}_3+2-t}{y_3}+\frac{m{y}_4+2-t}{y_4}=0$

只有等式右边为零 0 时成立。

因为 $k_1+k_2=0$

$⟺\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}=\frac{k_1+k_2}{k_1{k}_2}=0$

TIP

遇到开口向右的抛物线，设直线方程时，最好反设：$l:x=my+n$。

这样直线和抛物线联立后，求 $x_1+x_2,x_1{x}_2,y_1+y_2,y_1{y}_2$ 的表达式都很好求。

比如

$\{\begin{array}{l}{y}^2=4x\\ x=my+n\end{array}$

$y^2-4(my+n)=0$

$y^2-4my-4n=0$

$y_1{y}_2=-4n$

$y_1+y_2=4m$

$x_1+x_2=m{y}_1+n+m{y}_2+n$

$=m(y_1+y_2)+2n=4m^2+2n$

$x_1{x}_2=\frac{y_1^2}{4}\cdot \frac{y_2^2}{4}=\frac{(y_1{y}_2{)}^2}{16}=n^2$

可以看到，$x_1+x_2,y_1{y}_2,x_1{x}_2,y_1+y_2$ 都很快的表示出来了。

正着设也可以。只不过需要点小技巧。

比如

$\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ y^2=4x\end{array}$

$(kx+m{)}^2-4x=0$

$k^2{x}^2+(2mk-4)x+m^2=0$

$x_1{x}_2=\frac{m^2}{k^2},x_1+x_2=\frac{4-2mk}{k^2}$

然后变换一下式子，$y=kx+m⟶x=\frac{y-m}{k}$

$y^2=4\cdot \frac{y-m}{k}$

$y^2-\frac{4}{k}y+\frac{4m}{k}=0$

$y_1{y}_2=\frac{4m}{k}$

$y_1+y_2=\frac{4}{k}$