圆锥曲线题的一些经验结论

经验结论

结论 1

一条过定点 (0, m) 或 (n, 0) 的直线 $y=kx+m$ 或 $x=my+n$ 交圆锥曲线上（圆、椭圆、抛物线联立都行）两点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，

那么是可以用 $x_1,y_1$ 去表示 $x_2,y_2$，或用 $x_2,y_2$ 来表示 $x_1,y_1$ 的。

被表示的式子一定能用曲线方程进行化简。

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相关例题：

• /gaozhong/数学/题/集合/圆锥曲线最值范围问题/30
• /gaozhong/数学/题/集合/圆锥曲线最值范围问题/35
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注意：

1. 直线必须过坐标轴上的一个定点，这样才可算，否则会出现 3 次项的平方，非常难算。

例子 1：

比如有椭圆方程 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$，已知 $P(x_0,y_0),M$ 在椭圆上，直线 PM 与 y 轴的交点为 $(0,b)$，求用 $x_0,y_0,b$ 表示的 M 点。

$k=\frac{y_0-b}{x_0}$

$l:y-b=\frac{y_0-b}{x_0}x$

$y=\frac{y_0-b}{x_0}x+b$

$\{\begin{array}{l}y=\frac{y_0-b}{x_0}x+b\\ x^2+4y^2-4=0\end{array}$

$x^2+4(\frac{y_0-b}{x_0}x+b{)}^2-4=0$

$x_0{x}_M=\frac{4b^2-4}{4\frac{(y_0-b{)}^2}{x_0^2}+1}$

$=\frac{4x_0^2(b^2-1)}{4(y_0-b{)}^2+x_0^2}$

$=\frac{4x_0^2(b^2-1)}{4y_0^2+x_0^2-8y_{0}b+4b^2}$

$=\frac{4x_0^2(b^2-1)}{4-8y_{0}b+4b^2}$

所以

$x_M=\frac{4x_0(b^2-1)}{4-8y_{0}b+4b^2}$

反例：

将上题改一下，若 $P(x_0,y_0)$，直线上的另一点为 $(a,b)$，直线与椭圆的另一个交点还是 M，那么

$l:y-y_0=\frac{y_0-b}{x_0-a}(x-x_0)$

$\{\begin{array}{l}y-y_0=\frac{y_0-b}{x_0-a}(x-x_0)\\ x^2+4y^2-4=0\end{array}$

$x^2+4(\frac{y_0-b}{x_0-a}-\frac{y_0-b}{x_0-a}{x}_0+y_0{)}^2-4=0$

涉及到了 3 次项的平方，非常难解！

例子 2：

有椭圆 $\frac{x^2}{3}+y^2=1$，直线 $y=kx+m$。直线与椭圆交 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$ 两点。 请用 $x_1,y_1$ 来表示 $x_2,y_2$。

我们可知，$k=\frac{y_1-m}{x_1}$

联立

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+y^2=1\\ y=kx+m\end{array}$

$(1+3k^2)x^2+6kmx+3m^2-3=0$

$x_1{x}_2=\frac{3m^2-3}{1+3k^2}=\frac{3m^2-3}{1+3\frac{(y_1-m{)}^2}{x_1^2}}$

$=\frac{(3m^2-3)x_1^2}{x_1^2+3(y_1+m{)}^2}$

$=\frac{(3m^2-3)x_1^2}{x_1^2+3y_1^2+6y_{1}m+3m^2}$

$=\frac{(3m^2-3)x_1^2}{3+6y_{1}m+3m^2}$

所以 $x_2=\frac{(3m^2-3)x_1}{3+6y_{1}m+3m^2}$

$y_2=k{x}_2+m$

结论 2

反设直线、正设直线、垂直直线的斜率关系。

一：

如果 $y=kx+m$ 与 $x=my+n$ 表示的是同一条直线，那么 $k$ 与 $m$ 的关系是互为倒数 $km=1$。

注意正设直线 y 的系数必须是 1，而反设直线 x 的系数必须是 1

二：

如果正设直线 $y=k_{1}x+m_1$ 与 $y=k_{2}x+m_2$ 是相互垂直，那么 $k_1{k}_2=-1$，即 $k_1$ 与 $k_2$ 的关系是互为负倒数。

如果反设直线 $x=m_{1}y+n_1$ 与 $x=m_{2}y+n_2$ 是相互垂直，那么也有 $m_1{m}_2=-1$，$m_1$ 与 $m_2$ 的关系也是互为负倒数。

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相关例题：

• /gaozhong/数学/题/集合/圆锥曲线最值范围问题/23.md

结论 3

一般我们设的哪条直线，就用哪条直线进行代换、统一坐标。

最终我们要表达的式子都是包含坐标 $x,y$，然后通过韦达定理来消元，变成只含一个未知数的式子。

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相关例题：

• /gaozhong/数学/题/集合/圆锥曲线最值范围问题/41.md

结论 4

高考经常出两条相互垂直的直线，因为这样我们通过一条直线联立得出结果后，

另一条直线写“同理可得”，只需将结果中的某个字母换成另一个数就行了。

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• /gaozhong/数学/题/集合/圆锥曲线最值范围问题/40.md
• /gaozhong/数学/题/集合/圆锥曲线最值范围问题/42.md

结论 5

算弦长的时候，先看看横坐标有定值还是纵坐标有定值，

若横坐标有定值，就正设；

若纵坐标有定值，就反设，

这样含有一个常数算起来就简单一些。

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相关例题：

• /gaozhong/数学/题/集合/圆锥曲线最值范围问题/42.md

结论 6: 蒙日圆

在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点 都在同一个圆上。

这个圆的中心是椭圆的中心。

这个圆的半径等于椭圆的长半轴与短半轴的平方和的算数平方根。