01_逻辑用语

充分条件与必要条件

定义

先看一个例子，$\mathrm{若}p，\mathrm{则}q$。其中 $\mathrm{若}p$ 是条件，$\mathrm{则}q$ 是结论。

一，若 $p$ 能推出 $q$，即 $p⟹q$，则说明 $p$ 是 $q$ 的充分条件。

二，若 $q$ 能推出 $p$，即 $p⟸q$，则说明 $p$ 是 $q$ 的必要条件。

所以说，如果条件能够推出结论，我们就说 $p$ 是 $q$ 的充分条件。 如果结论能够推出条件，我们就说 $p$ 是 $q$ 的必要条件。

例题 1

若 $a\in R,\mathrm{则}a=2\mathrm{是}(a-1)\ast (a-2)=0\mathrm{的}$（）。

$A.\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{而}\mathrm{不}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$B.\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{而}\mathrm{不}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$C.\mathrm{充}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$D.\mathrm{即}\mathrm{不}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{也}\mathrm{不}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

解：

若 $a=2$，能推出 $(a-1)\ast (a-2)=0$。

若 $(a-1)\ast (a-2)=0$，那么 $a=1,2$，而条件 $a=2$，所以 $a=2 是 (a-1)*(a-2)=0 $ 的充分不必要条件。

例题 2

设集合 $A=\{x|x-2>0\},B=\{x|x<0\},C=\{x|x(x-2)>0\}$，则“$x\in A\bigcup B$”是“$x\in C$”的（）。

$A.\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{而}\mathrm{不}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$B.\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{而}\mathrm{不}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$C.\mathrm{充}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$D.\mathrm{即}\mathrm{不}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{也}\mathrm{不}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

解：

$A=(2,+\mathrm{\infty })$

$B=(-\mathrm{\infty },0)$

$C=(-\mathrm{\infty },0)\bigcup (2,+\mathrm{\infty })$

$A\bigcup B=(-\mathrm{\infty },0)\bigcup (2,+\mathrm{\infty })$

所以答案选 $C$。

全称量词与存在量词

定义

“对于所有 $x\in N$，都有 $x>-1$”这句话，前半句是度量范围，后半句是结论，组合起来就是一个命题。

“对于所有”是一个量词，可以用符号 $\mathrm{\forall }$ 表示。还有另外一个符号 $\mathrm{\exists }$ 表示存在的意思。

例题 1

下列命题是假命题的是（）。

$A.\mathrm{\forall }x\in R,x^x>0$

$B.\mathrm{\forall }x\in N,x\ge 1$

$C.\mathrm{\exists }x\in Z,x<1$

$D.\mathrm{\exists }x\in Q,\sqrt{x}\in Q$

解：

$N$ 代表自然数 $0,1,2,3...$，所以 $B$ 是假命题。

例题 2

下列命题：

1. 偶数都可以被 2 整除；
2. 角平分线上的任一点到这个角的两边的距离相等；
3. 有的实数是无限不循环小数；
4. 有的菱形是正方形；
5. 存在三角形其内角和大于 ${180}^{\circ }$。

既是全称命题又是真命题的是_______。（全称命题表示度量范围为对于所有的命题）

解：

$1,2$

命题的否定

假设有命题“我不是人”，那么它的否定命题是什么呢？是“我是人”。

“20 是 5 的倍数”的否定命题为“20 不是 5 的倍数”。

对于一个命题，如果我们要将它改为否定命题，需要做两步：

1. 全称量词改为存在量词，或者存在量词改为全称量词
2. 结论改为否定

注意结论之前的条件不用改变。

例题 1

所有能被 3 整除的整数都是奇数。

解：

存在能被 3 整除的整数不是奇数。

例题 2

有的三角形是等边三角形。

解：

所有的三角形都不是等边三角形。

例题 3

$\mathrm{\exists }x\in R,x^2-x+1=0;$

解：

$\mathrm{\forall }x\in R,x^2-x+1\ne 0$

习题

例题 1

已知 $p:x^2-x-2>0,q:x^2-2x+1\le 0$，则 $q$ 是 $\mathrm{\neg }p$ 的（）。

$A.\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{不}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$B.\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{不}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$C.\mathrm{充}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$D.\mathrm{既}\mathrm{不}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{也}\mathrm{不}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

Details

解：

$q=1$，

$p=(-\mathrm{\infty },-1)\bigcup (2,+\mathrm{\infty })$，

$\mathrm{\neg }p=[-1,2]$。

所以答案选 $A$。

例题 2

已知条件 $p:a>b>0,\mathrm{条}\mathrm{件}q:\frac{1}{a-b}>\frac{1}{a}$，则 $p$ 是 $q$ 的（）。

$A.\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{不}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$B.\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{不}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$C.\mathrm{充}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

$D.\mathrm{既}\mathrm{不}\mathrm{充}\mathrm{分}\mathrm{也}\mathrm{不}\mathrm{必}\mathrm{要}\mathrm{条}\mathrm{件}$

Details

解：

答案选 $A$。

例题 3

下列命题为真命题的是（）。

$A.\mathrm{\exists }{x}_0\in R,\mathrm{使}{x}_0^2<0$

$B.\mathrm{\forall }x\in R,\mathrm{有}{x}^2\ge 0$

$C.\mathrm{\forall }x\in R,\mathrm{有}{x}^2>0$

$D.\mathrm{\forall }x\in R,\mathrm{有}{x}^2<0$

Details

解：

答案选 $B$。

例题 4

已知集合 $A=\{x|x^2-2x\le 8\},B=\{-2,0\}$，下列命题为假命题的是（）。

$A.\mathrm{\exists }{x}_0\in A,x_0\in B$

$B.\mathrm{\exists }{x}_0\in B,x_0\in A$

$C.\mathrm{\forall }x\in A,x\in B$

$D.\mathrm{\forall }x\in B,x\in A$

Details

解题：

根据十字相乘法，解得 $A=[-2,4]$。

答案选 $C$。