my course

难度：困难

标签：导数问题多变量问题比值换元端点效应

是否做正确：未标明

是否属于易错题：未标明

如果做错原因可能是：未标明

已知函数 $f (x) = e^{x} - \frac{l n x}{x} - 1$ .

（1）求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

（2）若函数 $g (x) = f (x) - \frac{a}{x}$ 有两个零点 $x_{1}, x_{2}$ （其中 $x_{1} < x_{2}$ ），且不等式 $x_{1} e^{x_{1}} + 2 x_{2} e^{x_{2}} > m$ 恒成立，求实数 $m$ 的取值范围。

解（1）

$f (x) = e^{x} - \frac{l n x}{x} - 1, x > 0$

$f^{'} (x) = e^{x} - \frac{\frac{1}{x} x - l n x}{x^{2}}$

$= e^{x} - \frac{1 - l n x}{x^{2}}$

$(1 - f (1)) = (1, e - 1)$

$f^{'} (1) = e - 1$

$y = (e - 1) (x - 1) + e - 1 = (e - 1) x$

解（2）

$g (x) = e^{x} - \frac{l n x}{x} - 1 - \frac{a}{x}$

$e^{x_{1}} = \frac{l n x_{1}}{x_{1}} + \frac{a}{x_{1}} + 1$

$e^{x_{2}} = \frac{l n x_{2}}{x_{2}} + \frac{a}{x_{2}} + 1$

$x_{1} e^{x_{1}} = l n x_{1} + x_{1} + a$

$x_{2} e^{x_{2}} = l n x_{2} + x_{2} + a$

有恒成立 $x_{1} e^{x_{1}} + 2 x_{2} e^{x_{2}} > m$

令 $x_{1} e^{x_{1}} = t_{1}, l n x_{1} + x_{1} = l n t_{1}$

$x_{2} e^{x_{2}} = t_{2}, l n x_{2} + x_{2} = l n t_{2}$

所以 ${\begin{cases} t_{1} = l n t_{1} + a ① \\ t_{2} = l n t_{2} + a ② \end{cases}, t_{2} > t_{1}$

所以恒有 $t_{1} + 2 t_{2} > m$

$② - ①$ ，得

$t_{2} - t_{1} = l n \frac{t_{2}}{t_{1}}$

这里可以将 $\frac{t_{2}}{t_{1}}$ 令为一个新变量 $μ$ ，将上式的 $t_{1}, t_{2}$ 全部用 $μ$ 表示。

所以 $\frac{t_{1} + 2 t_{2}}{t_{2} - t_{1}} > \frac{m}{l n \frac{t_{2}}{t_{1}}}$

$\frac{1 + \frac{2 t_{2}}{t_{1}}}{\frac{t_{2}}{t_{1}} - 1} > \frac{m}{l n \frac{t_{2}}{t_{1}}}$

令 $\frac{t_{2}}{t_{1}} = μ, μ > 1$

所以恒有 $\frac{2 t + 1}{t - 1} > \frac{m}{l n t}$

$l n t > m \frac{t - 1}{2 t + 1}$

$l n t - m \cdot \frac{t - 1}{2 t + 1} > 0$

令 $h (t) = l n t - m \cdot \frac{t - 1}{2 t + 1} > 0$

因为 $h (1) = 0$

所以 $h^{'} (1) ⩾ 0$

$h^{'} (t) = \frac{1}{t} - m \cdot \frac{2 t + 1 - 2 (t - 1)}{(2 t + 1)^{2}}$

$= \frac{1}{t} - m \cdot \frac{3}{(2 t + 1)^{2}}$

$h^{'} (1) = 1 - \frac{3 m}{9} = 1 - \frac{m}{3} ⩾ 0$

所以 $m ⩽ 3$

下证 $m ⩽ 3$ 时， $h (t) > 0$

$h (t) ⩾ l n t - \frac{3 (t - 1)}{2 t + 1}$

令 $μ (t) = l n t - \frac{3 (t - 1)}{2 t + 1}$

$μ^{'} (t) = \frac{1}{t} - \frac{3 (2 t + 1) - 2 \times 3 (t - 1)}{(2 t + 1)^{2}}$

$= \frac{1}{t} - \frac{6 t + 3 - 6 t + 6}{(2 t + 1)^{2}}$

$= \frac{1}{t} - \frac{9}{(2 t + 1)^{2}}$

$= \frac{4 t^{2} + 4 t + 1 - 9 t}{t (2 t + 1)^{2}} = \frac{4 t^{2} - 5 t + 1}{t (2 t + 1)^{2}} = \frac{(t - 1) (4 t - 1)}{t (2 t + 1)^{2}} > 0$

所以 $μ (t) ↑, μ (t) > μ (1) = 0$

所以得证

所以 $m ⩽ 3$

TIP

看到 $x e^{x}$ 、 $l n x + x$ 同时出现时，想到换元法，令 $x e^{x}$ 为一个整体，这样 $l n x + x$ 就也变为一个整体

TIP

对于 $t_{2} - t_{1} = l n \frac{t_{2}}{t_{1}}$ 这种双变量等式子，可以通过换元变成单变量式子。

比如，令 $\frac{t_{2}}{t_{1}} = μ$

则 $t_{2} = μ t_{1}$

$μ t_{1} - t_{1} = l n μ$

$t_{1} = \frac{l n μ}{μ - 1}$

$t_{2} = \frac{μ l n μ}{μ - 1}$

最后式子变为 $\frac{μ l n μ}{μ - 1} - \frac{l n μ}{μ - 1} = l n μ$

set1

00_复习

01_基本立体图形

02_立体图形的直观图

03_简单几何体的表面积与体积

04_空间点、直线、平面之间的位置关系

05_空间直线、平面的平行

06_空间直线、平面的垂直

8.6.1_直线与直线垂直, 8.6.2_直线与平面垂直

8.6.3_平面与平面垂直

01_月考

02_一诊

01_青铜篇

第11章_逻辑与集合

解三角形

橘子例题

卷子

考试错题

set1

set3

立体几何

01_几何体的体积与表面积

02_角度与截面

03_球

04_动点轨迹

05_综合

06_大题

零点问题

01_无参数零点

02_带参数零点

03_最值极值

04_切线

数列

橘子题

圆锥曲线定点定值问题

圆锥曲线最值范围问题

set1

01 语法填空

02 阅读理解

03 阅读七选五

07 书面表达

听说读听

01_set

02_set

03_40 篇英语短文语法填空题

mySet00

set01

set02

01 运动的描述

02 匀变速直线运动

03 相互作用力

04 运动和力的关系

01 曲线运动