难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题求四边形面积

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$2c=\sqrt{2}a$

$2a^2=4c^2,a^2=2c^2$

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$

$\frac{1}{2c^2}+\frac{1}{2c^2-c^2}=1$

$\frac{1+2}{2c^2}=1$

$c^2=\frac{3}{2}$

$a^2=3$

$b^2=a^2-c^2=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

$C:\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{\frac{3}{2}}=1$

解（2）

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

直线 $AB:x=my+n$

翻译条件：AB 为直径的圆过原点。

$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$

$x_1{x}_2+y_1{y}_2=0$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{3}+\frac{2y^2}{3}=1\\ x=my+n\end{array}$

$(m^2+2)y^2+2mny+n^2-3=0$

$y_1+y_2=\frac{-2mn}{m^2+2},y_1{y}_2=\frac{n^2-3}{m^2+2}$

$x_1+x_2=m(y_1+y_2)+2n=\frac{4n}{m^2+2}$

$y=\frac{x-n}{m}$

$x^2+2(\frac{x-n}{m}{)}^2-3=0$

$x_1{x}_2=\frac{2\frac{n^2}{m^2}-3}{1+\frac{2}{m^2}}$

$=\frac{2n^2-3m^2}{m^2+2}$

所以 $\frac{n^2-3}{m^2+2}+\frac{2n^2-3m^2}{m^2+2}=0$

$3n^2-3m^2=3$

$n^2=m^2+1$

再翻译条件 $\overrightarrow{OC}=t(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB})$

$C(t(x_1+x_2),t(y_1+y_2))$

$C(\frac{4nt}{m^2+2},\frac{-2mnt}{m^2+2})$

$\frac{1}{3}\frac{16n^2{t}^2}{(m^2+2{)}^2}+\frac{2}{3}\frac{4m^2{n}^2{t}^2}{(m^2+2{)}^2}=1$

$\frac{16n^2{t}^2}{(m^2+2{)}^2}+2\frac{4m^2{n}^2{t}^2}{(m^2+2{)}^2}=3$

$16n^2{t}^2+8m^2{n}^2{t}^2=3(m^2+2{)}^2$

$8n^2{t}^2(2+m^2)=3(m^2+2{)}^2$

$8n^2{t}^2=3(m^2+2)$

$S=2\times 2t[\frac{1}{2}|n||y_1-y_2|]$

$=2t|n|\frac{\sqrt{4\times 3\times \frac{3}{2}(3+\frac{3}{2}{m}^2-n^2)}}{3+\frac{3}{2}{m}^2}$

$=2t|n|\frac{2\sqrt{6+3m^2-2m^2-2}}{2+m^2}$

$=4t|n|\frac{\sqrt{m^2+4}}{m^2+2}$

$=4\sqrt{\frac{(m^2+4)n^2{t}^2}{(m^2+2{)}^2}}$

$=4\sqrt{\frac{(m^2+4)3(m^2+2)}{(m^2+2{)}^{2}8}}$

$=4\sqrt{\frac{3}{8}\frac{m^2+4}{m^2+2}}$

$=\sqrt{6}\sqrt{1+\frac{2}{m^2+2}}$

当 $m=0$ 时，S 最大，为 $2\sqrt{3}$

TIP

有时候，化简不了 $m,n$ 的关系 $4n^2+m^2{n}^2=(3m^2-2n^2+6)$，想想是不是系数没乘。比如 $\sqrt{1+m^2}$ 这个系数。

TIP

条件该怎么翻译也很关键，不同的翻译方式，计算容易程度是不一样的。

有些条件用向量来翻译就容易得多。

比如这个条件：以一条线段（端点为 A、B）为直径的圆过某个点 O，

那么我们可以这样翻译：$\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，实际证明这样翻译也比较简单。

而如果我们这样翻译：$\frac{|AB|}{2}=OG$（G 为 AB 中点），后面得出的等式可能需要双因式分解，是比较困难的。

三角形面积的转化

如下图，已知 OACB 是平行四边形，满足 $\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA}=\overrightarrow{OC}$。

G 是对角线连线的交点。所以 G 点也是 AB、OC 的中点。

有条件 $\overrightarrow{OD}=t(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OA})$，且已知 $S_{OAB}$，求 $S_{OADB}$。

解：

设 $\mathrm{\angle }OGB=\alpha$，

$S_{OAB}=\frac{1}{2}\frac{1}{2}OC\times AB\times sin\alpha$

$=\frac{1}{2}\frac{1}{2}\frac{OD}{t}\times AB\times sin\alpha$

$=\frac{1}{t}\frac{1}{2}\frac{1}{2}\times OD\times AB\times sin\alpha$

$=\frac{1}{2t}{S}_{OADB}$

所以 $S_{OADB}=2t\cdot S_{OAB}$