16 题型技巧课：多物体机械能守恒

题型特征

两物体通过滑轮 + 绳子/杆相连，分析能量变化。

常见多物体机械能守恒模型

无其它力做功，机械能守恒。

分析思路：列方程 $E_{\mathrm{增}}=E_{\mathrm{减}}$

误区

错误观点：除重力外，只有内力做功，机械能守恒。

正确观点：判断机械能守恒不看内力做功，看有无其它力做功！

比如上面左图中，木块和木板之间有内力摩擦力做功，那么木板和木块的机械能就不守恒。

右图中的两个异性电荷相吸做功，两个电荷的机械能也不守恒。

内力：系统内物体彼此之间的力

关于绳两头速度大小

绳子不可伸长，且绷直的情况下，

情况 1，绳不转，速度大小相等。就像下图：

情况 2，绳转动，那么速度大小不相等。就像下图，绳子运动的过程中在转动。

重要结论

任何模型里，最低/最高点竖直速度一定为 0

例题

题 1

解

$E_{\mathrm{减}}=E_{\mathrm{增}}$

$\downarrow E_{PG1}=\uparrow E_{K1}+\uparrow E_{K2}+\uparrow E_{PG2}$

A 应该是大于

B 应该是大于

总体来看，$E_{\mathrm{机}2}$ 增大，那么 $E_{\mathrm{机}1}$ 减小

C 对。

D 错。

$C$

题 2

解

$h=1m$

$E_{\mathrm{增}}=E_{\mathrm{减}}$

$\uparrow E_{KB}+\uparrow E_{KA}+\uparrow E_{PB}=\downarrow E_{PA}$

$\frac{1}{2}{m}_B{v}^2+\frac{1}{2}{m}_A{v}^2+m_{B}gh=m_{A}gh$

$\frac{v^2}{2}+\frac{1.5}{2}{v}^2+10=15$

$\frac{2.5}{2}{v}^2=5$

$v^2=\frac{10}{2.5}=4$

$v=2m/s$

题 3

解

设滑轮处为 O 点，$OB=\sqrt{2}d,OA=d$

所以重物上升高度应为 $\sqrt{2}d-d$

A 错。

B 对环进行速度分解，环向下的速度应处于对角线位置。$v_B={\sqrt{v}}_{\mathrm{重}}$。对。

C A 到 B，绳子的拉力对环作负功，$E_{\mathrm{机}\mathrm{环}}\downarrow$，对。

D 设下降到最大高度时，速度为零。所以根据机械能守恒定律，

$\downarrow E_{P\mathrm{环}}=\uparrow E_{P\mathrm{重}}$

设环下降高度为 h

$mgh=2mg\cdot s^{\prime }$

$s^{\prime }=\sqrt{d^2+h^2}-d$

$h=2\sqrt{d^2+h^2}-2d$

$h+2d=2\sqrt{d^2+h^2}$

$h^2+4hd+4d^2=4d^2+4h^2$

$4hd=3h^2$

$h=\frac{4}{3}d$

D 对。

$BCD$

题 4

TIP

任何模型里，最低/最高点竖直速度一定为 0

解

A 对。绳的拉力方向先与速度方向的夹角为锐角，后为钝角。

B 对。绳与杆垂直之前，绳都对 A 做正功，之后做负功。A 垂直时 $E_{\mathrm{机}A}$ 最大。

绳对 B 则是先做负功，后做正功。

C 垂直时，B 到达竖直方向的最低点，$v_y=0$。C 对。

D $P_G=mg{v}_y$

$v_y$ 经历了三次等于 0，所以 $P_G$ 是先增后减，再增后又减。

D 错。

$ABC$

题 5

解

（1）

$E_{\mathrm{增}}=E_{\mathrm{减}}$

$\uparrow E_{PP}+\uparrow E_{KP}+\uparrow E_{KQ}=\downarrow E_{PQ}$

这里注意一点，虽然 $v=\omega r$，我们可以将 $v_P,v_Q$ 全部用 $\omega$ 表示出来，算出 $\omega$，再算 $v_p$。但是这样显然麻烦了点，因为题目只要求我们求 $v_P$。我们其实是可以将 $v_P,v_Q$ 的关系表示出来的，然后将方程中的 $v_Q$ 全部替换为 $v_P$。

$m_{P}g\frac{L}{3}+\frac{1}{2}{m}_P{v}_P^2+\frac{1}{2}{m}_Q{v}_Q^2=m_{Q}g\frac{2L}{3}$

$m_P=m,m_Q=2m$

因为 $v_P=\omega \frac{L}{3}$

$v_Q=\omega \frac{2L}{3}$

所以 $v_Q=2v_P$

解得 $v_P=\frac{\sqrt{2gL}}{3}$

（2）

以 O 点为零势能点，

$\mathrm{\Delta }{E}_{\mathrm{机}P}=E_{\mathrm{机}\mathrm{末}}-E_{\mathrm{机}\mathrm{初}}$

$=mg\frac{L}{3}+\frac{1}{2}m\frac{2gL}{9}-0$

$=\frac{4mgL}{9}$