难度： 中等

标签： 权方和不等式最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

已知实数 $x,y$ 满足 $x^2+y^2=1,0<x<1,0<y<1,\mathrm{当}\frac{4}{x}+\frac{1}{y}$ 取得最小值时，$\frac{x}{y}$ 的值为（）

解

用权方和不等式的推论求解该题。

$\frac{4}{x}+\frac{1}{y}=\frac{(4^{\frac{2}{3}}{)}^{\frac{3}{2}}}{(x^2{)}^{\frac{1}{2}}}+\frac{1}{(y^2{)}^{\frac{1}{2}}}⩾\frac{(4^{\frac{2}{3}}+1{)}^{\frac{3}{2}}}{\sqrt{x^2+y^2}}=(4^{\frac{2}{3}}+1{)}^{\frac{3}{2}}$

当 $\frac{4^{\frac{2}{3}}}{x^2}=\frac{1}{y^2}$

$x=4^{\frac{1}{3}}y$ 时取等号，

答案为 $\sqrt[3]{4}$