16 三角函数难题克星（整体换元法）

例题 1

已知函数 $f(x)=sin(2x-\frac{\pi }{4})$，若方程 $f(x)=\frac{1}{3}$ 在区间 $(0,\pi )$ 内的解为 $x_1,x_2(x_1,x_2)$，则$sin(x_1,x_2)=$（）。

解：

令 $\alpha =2x-\frac{\pi }{4}$，

则题目问题化为 $f(\alpha )=sin\alpha =\frac{1}{3}$ 在区间 $[-\frac{\pi }{4},\frac{7\pi }{4}]$ 的解为 ${\alpha }_1,{\alpha }_2({\alpha }_1<{\alpha }_2)$

由此可得 $\frac{{\alpha }_1+{\alpha }_2}{2}=\frac{\pi }{2}$

即 ${\alpha }_1+{\alpha }_2=\pi$

因为 $x=\frac{\alpha +\frac{\pi }{4}}{2}$

所以 $x_1=\frac{1}{2}{\alpha }_1+\frac{\pi }{8}$

$x_2=\frac{1}{2}{\alpha }_2+\frac{\pi }{8}$

$sin(x_1-x_2)=sin(\frac{1}{2}({\alpha }_1-{\alpha }_2))$

$=sin(\frac{1}{2}(\pi -2{\alpha }_2))$

$=sin(\frac{\pi }{2}-{\alpha }_2)$

$=cos{\alpha }_2$

因为 $sin{\alpha }_1=sin{\alpha }_2=\frac{1}{3}$

且 $\pi <{\alpha }_2<\pi$

所以 $cos{\alpha }_2=-\sqrt{1-(\frac{1}{3}{)}^2}=-\frac{2\sqrt{2}}{3}$

所以答案为 $-\frac{2\sqrt{2}}{3}$。

例题 2

已知函数 $f(x)=sin(\omega x+\phi )(\omega >0,|\phi |\le \frac{\pi }{2}),x=-\frac{\pi }{4}$ 为 $y=f(x)$ 图像的对称轴，$x=\frac{\pi }{4}$ 为 $f(x)$ 的零点，且 $f(x)$ 在区间 $(\frac{\pi }{12},\frac{\pi }{6})$ 上单调，则 $\omega$ 的最大值为 _____.

解：

令 $\omega x+\phi =\alpha$

则 $f(\alpha )=sin\alpha$

$f(\alpha )$ 的对称轴为 $\frac{\pi }{2}+k_1\pi$

$f(\alpha )$ 的零点为 $k_2\pi$

因为 $x=-\frac{\pi }{4}$ 为 $y=f(x)$ 图像的对称轴，$x=\frac{\pi }{4}$ 为 $f(x)$ 的零点

所以

$\{\begin{array}{l}-\frac{\pi }{4}\omega +\phi =\frac{\pi }{2}+k_1\pi \\ \frac{\pi }{4}\omega +\phi =k_2\pi \end{array}$

由此可得 $\omega =-1+2(k_2-k_1)$，所以 $\omega$ 为奇数。

$\phi =\frac{\pi }{4}+(\frac{k_1+k_2}{2})\pi$，因为 $|\phi |\le \frac{\pi }{2}$， 所以可得 $\phi =\frac{\pi }{4}\mathrm{或}-\frac{\pi }{4}$，暂时不能确定 $\phi$ 的值。

有条件得 $f(\alpha )=sin\alpha$ 在 $[\frac{\pi }{12}\omega +\phi ,\frac{\pi }{6}\omega +\phi ]$ 单调，

可得 $\frac{\pi }{12}\omega \le \pi$ 即 $\omega \le 12$

但是我们得看是否符合条件，是否在区间内单调。

当 $\omega =11$，

$\phi =\frac{\pi }{2}+\frac{11\pi }{4}+k_1\pi =\frac{13\pi }{4}+k_1\pi =\frac{\pi }{4}$

而 $f(\alpha )=sin\alpha$ 在 $[\frac{11\pi }{12}+\frac{\pi }{4},\frac{11\pi }{6}+\frac{\pi }{4}]\mathrm{即}[\frac{7\pi }{6},\frac{25\pi }{6}]$ 不单调，所以不符条件。

当 $\omega =9$，

$\phi =\frac{\pi }{2}+\frac{9\pi }{4}+k_1\pi =\frac{11\pi }{4}+k_1\pi =-\frac{\pi }{4}$

而 $f(\alpha )=sin\alpha$ 在 $[\frac{9\pi }{12}-\frac{\pi }{4},\frac{9\pi }{6}-\frac{\pi }{4}]\mathrm{即}[\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{4}]$ 单调，所以符合条件。

综上，$\omega$ 最大值为 $9.$