难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆斜率和问题分离参数点乘双根法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}$

$3c=\sqrt{5}a$

$9c^2=5a^2$

$\frac{4}{b^2}=1$

$b^2=4$

$9c^2=5b^2+5c^2=20+5c^2$

$4c^2=20$

$c^2=5$

$a^2=5+4=9$

$C:\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1$

解（2）

设 MN 中点为 $E(0,t)$

$k_{AM}=\frac{y_M}{2}$

$k_{AE}=\frac{y_E}{2}$

$k_{AN}=\frac{y_N}{2}$

因为 $2y_E=y_M+y_N$

所以 $2k_{AE}=k_{AM}+k_{AN}$

设 $P(x_1,y_1),Q(x_2,y_2),k_{AN}=k_{AQ}$

$2\cdot \frac{t}{2}=\frac{y_1}{x_1+2}+\frac{y_2}{x_2+2}$

$t=\frac{y_1}{x_1+2}+\frac{y_2}{x_2+2}$

设直线 $PQ$ 为 $y=k(x+2)+3=kx+2k+3$

则 $t=\frac{k{x}_1+2k+3}{x_1+3}+\frac{k{x}_2+2k+3}{x_2+2}$

$t=k+\frac{3}{x_1+2}+k+\frac{3}{x_2+2}$

$=2k+3\frac{x_1+x_2+4}{(x_1+2)(x_2+2)}$

$\{\begin{array}{l}\frac{y^2}{9}+\frac{x^2}{4}=1\\ y=kx+2k+3\end{array}$

$4y^2+9x^2-36=0$

$(4k^2+9)x^2+8(2k+3)kx+4(2k+3{)}^2-36=0$

$x_1+x_2=\frac{-8k(2k+3)}{4k^2+9}$

$(x1+2)(x_2+2)=\frac{f(-2)}{A}=\frac{4(4k^2+9)-16(2k^2+3k)+4(4k^2+12k+9)-36}{4k^2+9}$

$=\frac{36}{4k^2+9}$

$t=2k+3\times \frac{-8k(2k+3)+16k^2+36}{36}$

$=2k+\frac{-24k+36}{12}=\frac{36}{12}=3$

所以 $E(0,3)$

TIP

看到中点时，往斜率上靠。

TIP

1 个点，交于 P，Q 两个点，潜台词就是绝大多数情况设直线就设 PQ 的直线方程。

TIP

当我们设直线时，可能会有 3 项，比如

$y=kx+2k+3$

，这种情况下就需要换元，令 $2k+3=m$

我们联立圆锥曲线时直线方程都应该只有 2 项，这样算起来更不容易错，最后再换回来就行。