04 概率的基本（运算）性质

性质

性质 1

事件发生的概率大于零

事件 A，$P(A)>0$

性质 2

对于一个必然事件，它的概率为 1。

对于一个不可能事件，它的概率为 0。

$P(\mathrm{\Omega })=1$

$P(\mathrm{\varnothing })=0$

性质 3

以例题为例讲解。

我们发现，

$R\bigcap G=\mathrm{\varnothing }$，说 R 和 G 是互斥事件，不可能同时发生。

如果两个事件 $R,G$ 互斥，则 $P(R\bigcup G)=P(R)+P(G)$

TIP

$P(A\bigcup B)$ 意思是只要发生 $A$ 或 $B$ 事件中的一个的概率。

推论

若 $A_1,A_2,....A_n$ 两两互斥，

$P(A_1\bigcup A_2\bigcup ...\bigcup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+P(A_3)+...+P(A_n)$

性质 4

当 $A,B$ 事件是对立事件时（用数学表达就是 $A\bigcap B=\mathrm{\varnothing },\mathrm{且}A\bigcup B=\mathrm{\Omega }$）

有公式

$P(A)=1-P(B)$

$P(B)=1-P(A)$

性质 5

$A\subset B,P(A)\le P(B)$

性质 6

在同一个随机试验中，

事件 A 或 事件 B 其中一个发生的概率等于事件 A 发生的概率加事件 B 发生的概率建事件 A、B 同时发生的概率。

即 $P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(A\bigcap B)$

或者这样表达：$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)$

例题

解：

我们将中奖这个事件记为 $A="\mathrm{中}\mathrm{奖}"$.

这个时间还可以细分为 $A_1="\mathrm{第}\mathrm{一}\mathrm{罐}\mathrm{中}\mathrm{奖}"$

$A_2="\mathrm{第}\mathrm{二}\mathrm{罐}\mathrm{中}\mathrm{奖}"$

所以 $A=A_1{A}_2\bigcup A_1{\bar{A}}_2\bigcup {\bar{A}}_1{A}_2$

所以 $P(A)=P(A_1{A}_2)+P(A_1{\bar{A}}_2)+P({\bar{A}}_1{A}_2)=\frac{2}{30}+\frac{8}{30}+\frac{8}{30}$

$=\frac{18}{30}=\frac{3}{5}$

第二种方法，利用对立事件的性质：

$P({\bar{A}}_1{\bar{A}}_2)=\frac{4\times 3}{30}=\frac{12}{30}=\frac{2}{5}$

$\therefore P(A)=1-P({\bar{A}}_1{\bar{A}}_2)=\frac{3}{5}$