13 题型技巧课：卫星追及相遇问题

题型特征

1. 从第一次相距最近到下一次最近/最远
2. 冲日问题

追及相遇

只有轨道不同，角速度不同才能追，不会真的相遇。相遇指距离最近。

距离最近

距离最远

冲日问题

当地球恰好运行到某“地外行星”和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学家称为“行星冲日”。

本质：地球与高轨天体的距离最近问题。

做题结论

地外行星的 r 越大，角速度越小，地球越好追到它。

当地外行星半径与地球的半径之比大于 5 时（地外行星的 r 是地球 r 的 5 倍多），慢天体看成静止，追及时间约等于 1 年。

推导

设地球的周期为 $T_1$，地外行星的周期为 $T_2$（$T_1<T_2$）

有

$(\frac{2\pi }{T_1}-\frac{2\pi }{T_2})t=2\pi$

两次冲日的间隔时间为 $t=\frac{T_1{T}_2}{T_2-T_1}=\frac{T_1}{1-\frac{T_1}{T_2}}$

根据开普勒第三定律，$\frac{r_1^3}{T_1^2}=\frac{r_2^3}{T_2^2}$

$\frac{T_1}{T_2}=(\frac{r_1}{r_2}{)}^{\frac{3}{2}}$

当 $\frac{r_2}{r_1}>5$ 时，$\frac{r_1}{r_2}<\frac{1}{5}$

所以 $\frac{T_1}{T_2}=(\frac{r_1}{r_2}{)}^{\frac{3}{2}}<0.1$

所以 $t=\frac{T_1}{1-\frac{T_1}{T_2}}\approx T_1=1\mathrm{年}$（1 年多一点点）

例题

题 1

解

$({\omega }_A-{\omega }_B)t=2\pi$

$(\frac{2\pi }{T_1}-\frac{2\pi }{T_2})t=2\pi$

$(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})t=1$

$\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}=\frac{1}{t}$

$\frac{1}{T_1}-\frac{1}{t}=\frac{1}{T_2}=\frac{t-T_1}{t{T}_1}$

$T_2=\frac{t{T}_1}{t-T_1}$

$B$

题 2

解

$(\frac{2\pi }{T_1}-\frac{2\pi }{T_2})t=2\pi$

$(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})t=1$

$t=\frac{T_1{T}_2}{T_2-T_1}$

若是相距最远，则 $(\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2})t=\frac{1}{2}$

$t=\frac{T_1{T}_2}{2(T_2-T_1)}$

$BD$

题 3

注意！

注意地球绕太阳运行的周期为 1 年！

解

$K=\frac{a^3}{T^2}=\frac{r^3}{T^2}$

$r=\sqrt[3]{K{T}^2}$

$\frac{r_2}{r_1}=\sqrt[3]{\frac{T_2^2}{T_1^2}}$

根据 $\frac{1}{T_1}-\frac{1}{T_2}N=1$，注意单位是年。

注意有一个隐藏条件，$T_1=1$，如果没有想到这个隐藏条件，那么将算不出 $\frac{T_2}{T_1}$ 的比值，也就得不出答案。

所以 $(1-\frac{1}{T_2})N=1$

$T_2=\frac{N}{N-1}$

$\frac{r_2}{r_1}=(\frac{N}{N-1}{)}^{\frac{2}{3}}$

题 4

解

A，火星的半径为地球的 1.5 倍，远不及 5 倍。所以追赶的时间肯定大于 1 年。所以不是每年都会有。错。

B 木星的半径为地球的 5.2 倍，所以地球追赶时间大约为 1 年多一点点，所以对。

C 这两个星的半径都是地球的 5 倍之多，所以追赶时间大差不差，不是一半，错。

D 海王星的半径最长，它跑的最慢，地球最容易追上，正确。

$BD$

不可接受的解法

题 5

解

根据“高轨低速大周期”，

A 错。

B 对。

$\frac{r_{\mathrm{火}}^3}{T_{\mathrm{火}}^2}=\frac{r_{\mathrm{地}}^3}{T_{\mathrm{地}}^2}$

$\frac{T_{\mathrm{火}}}{T_{\mathrm{地}}}=(\frac{3}{2}{)}^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{27}{8}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{3}{2}}$

C 错。

D 半径是地球的 5 倍多，追击时间为 1 年多一点。因为火星半径是地球的 1.5 倍，所以肯定超过 1 年，错。

$B$