难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题定比点差法

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

$|FB|=a+c$

$|FA|=a$

$a^2+ac=10+5\sqrt{2}$

$c=\frac{a}{\sqrt{2}}$

$a^2=10$

$c^2=5$

$b^2=a^2-c^2=5$

$\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1$

解（2）

设 $P(x_0,y_0),M(x_M,y_M),N(x_N,y_N)$

$\lambda =\frac{\overrightarrow{CP}}{\overrightarrow{CM}}=\frac{y_0}{y_M}$

$\mu =\frac{\overrightarrow{DP}}{\overrightarrow{DN}}=\frac{y_0}{y_N}$

设 $l_{CP}:x=\frac{x_0+4}{y_0}y-4$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1\\ x=\frac{x_0+4}{y_0}-4\end{array}$

$(\frac{x_0+4}{y_0}y-4{)}^2+2y^2-10=0$

$y_M{y}_0=y_1{y}_2=\frac{6}{(\frac{x_0+4}{y_0}{)}^2+2}=\frac{6y_0^2}{(x_0+4{)}^2+2y_0^2}=\frac{6y_0^2}{26+8x_0}$

$y_M=\frac{6y_0}{26+8x_0}$

同理，可以设 $l_{DN}:x=\frac{x_0-4}{y_0}y+4$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{10}+\frac{y^2}{5}=1\\ x=\frac{x_0-4}{y_0}y+4\end{array}$

$(\frac{x_0-4}{y_0}y+4{)}^2+2y^2-10=0$

$y_N{y}_0=y_1{y}_2=\frac{6}{\frac{(x_0-4{)}^2}{y_0^2}+2}=\frac{6y_0^2}{x_0^2-8x_0+16+2y_0^2}=\frac{6y_0^2}{26-x_0}$

$y_N=\frac{6y_0}{26-8x_0}$

所以 $\lambda +\mu =y_0(\frac{26+8x_0}{6y_0}+\frac{26-8x_0}{6y_0})$

$=\frac{52}{6}=\frac{26}{3}$

TIP

长度的关系，要转化为坐标的关系。只有转化为坐标的关系后，才能用韦达定理。

思想

过对称轴上的一个定点的直线交椭圆于 2 点 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，那么可以用 A 点的 $x_1,y_1$ 来表示 $x_2,y_2$，也可以用 B 点的 $x_2,y_2$ 来表示 A 点的 $x_1,y_1$，被表示的点的分母一定可以通过曲线方程代换化简。