弦长公式

TIP

虽然弦长公式与点到点的距离公式是等价的，但弦长公式直接将点与直线的斜率联系起来，其实是点到点距离公式的最终化简版！

所以以后再有需要表达两点间的距离，应该先看看两点是否在一条直线上，若是，则能且优先使用弦长公式。

什么是弦长？

一个圆锥曲线与一条直线若相交有两个交点，将这两个点相连得到的线段长度就是弦长。

公式 1（横坐标的弦长公式）

设两个交点的坐标为 $A(x_1,y_2)$，$B(x_2,y_2)$，直线的方程为 $y=kx+b$（直线的斜率一定存在），

那么 $AB$ 两点间的直线距离为 $AB=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$

注意这个公式只适用于当直线的斜率存在时。若直线斜率不存在，应当使用纵坐标的弦长公式。

推导

设有一条直线 $y=kx+b$（斜率一定存在）。

在这条直线上有两点 $A(x_1,y_2)$，$B(x_2,y_2)$，

公式 2（纵坐标的弦长公式）

设两个交点的坐标为 $A(x_1,y_2),B(x_2,y_2)$，直线的方程为 $y=kx+b$，则

$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}|y_1-y_2|$

推导

公式 3

练联立曲线和直线的方程后得到的二次方程，

若是关于横坐标 $x$ 的二次方程，比如 $a{x}^2+bx+c=0$

那么 $x_1+x_2=-\frac{b}{a}$

$x_1{x}_2=\frac{c}{a}$

$|x_1-x_2|=\sqrt{x_1^2+x_2^2-2x_1{x}_2}$

$=\sqrt{(x_1^2+x_2^2{)}^2-4x_1{x}_2}$

$=\sqrt{\frac{b^2}{a^2}-\frac{4c}{a}}$

$=\sqrt{\frac{b^2-4ac}{a^2}}$

$=\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|a|}$

所以 $|AB|=\sqrt{1+k^2}\cdot \frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|a|}$（这里的 $\mathrm{\Delta }$ 和 $|a|$ 都属于关于 $x$ 的方程）

若是关于纵坐标 $y$ 的二次方程，比如 $a{y}^2+by+c=0$

$y_1+y_2=-\frac{b}{a}$

$y_1{y}_2=\frac{c}{a}$

同理可得 $|y_1-y_2|=\frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|a|}$

所以 $|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot \frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|a|}$（这里的 $\mathrm{\Delta }$ 和 $|a|$ 都属于关于 $y$ 的方程）