04 题型技巧课：简谐运动 + 力学综合问题

题型特征

弹簧振子，求 F、a 等力学相关物理量。

弹簧振子做简谐运动的条件

无人为外力，无摩擦生热。

核心方程

最远点：

（回复力=ma）

$F_{\mathrm{回}}=ma$

$F_{\mathrm{回}}=kA$

注意

弹簧带着多物体一起做简谐运动时，只有整体的 k 是弹簧劲度系数！

比如，对 a+b：$T=KA$

对 a：$f=K_{a}A$

对 b：$T-f=K_{b}A$

$T=(K_a+K_b)A$

水平弹簧振子最大振幅分析

地面光滑，俩物体始终无相对滑动，求最大振幅。

对整体：$T_{max}=KA$

对上面的物体：$f_{max}=k_{\mathrm{上}}A$

绝大多数题里，T 可以无限大，所以最大振幅由 $f_{max}$决定。

$T=KA$

$T=m_{\mathrm{总}}a$

$m_{\mathrm{上}}g\mu =m_{\mathrm{上}}a$

证明竖直弹簧振子是简谐运动

目标：证明任意位置，$F_{\mathrm{回}}=-kx$

平衡时：$mg=T=k\mathrm{\Delta }x$

任意位置时：$T^{\prime }=k(x-\mathrm{\Delta }x)$

$T^{\prime }=kx-k\mathrm{\Delta }x=kx-mg$

$T^{\prime }+mg=kx$

$F_{\mathrm{回}}=kx$

竖直多物体弹簧振子

A 和弹簧连在一起，B 放在 A 上，AB 始终不分离，一起做简谐运动。

分析 AB 之间的作用力何时最大，何时最小。

在平衡位置上方时：

a 向下

B：mg-N=ma

最高点 N 最小

在平衡位置下方时：

a 向上

B：N-mg=ma

最低点 N 最大

最高点 N 最小，最低点 N 最大。

斜面弹簧振子

跟竖直弹簧振子类似。不能直接用重力，要用沿斜面的分力。

重力沿斜面的分力：$mgsin\alpha$

例题

题 1

解

（1）

$F=m{a}_m$

$F=kA$

$F=32\times 0.04=1.28N$

$a_m=\frac{1.28}{0.1}=12.8m/s^2$

（2）

$E_{pB}=E_{k0}=5J$

$E_{k0}=\frac{1}{2}m{v}_0^2$

$v_0=10m/s$

（3）

$s=5\times 4A=80cm$

题 2

解

$D$

题 3

解

$A$

题 4

解

$BD$

题 5

解

（1）

$4cm,1.5N$

（2）

$1cm$

题 6

解

（1）

$T=mssin\alpha =k\mathrm{\Delta }x$

$\mathrm{\Delta }x=\frac{mgsin\alpha }{k}$

（2）

$A=\mathrm{\Delta }x+\frac{L}{4}$

$=\frac{mgsin\alpha }{k}+\frac{L}{4}$

$F_{\mathrm{回}}=ka=ma$

$a=gsin\alpha +\frac{kL}{4m}$

（3）

$L+\mathrm{\Delta }x+A$

$=L+\frac{mgsin\alpha }{k}+\frac{mgsin\alpha }{k}+\frac{L}{4}$

$=\frac{5}{4}L+\frac{2mgsin\alpha }{k}$