05 三角函数的诱导公式

什么叫诱导

为什么三角函数的诱导公式叫做「诱导」公式？

所以，我们也可以将诱导公式称为化简公式，将不同的角通过对称计算，由 π、π/2 这两位老熟人引荐，再诱导回锐角形式，方便人与角之间的灵魂交流。

探究三角函数的奇偶性

奇函数的定义：$f(x)=-f(-x)$

偶函数的定义：$f(x)=f(-x)$

1，因为 $y=sin\alpha =-sin(-\alpha )$，所以 $y=sin\alpha$ 是奇函数。

2，因为 $y=cos\alpha =x=sin(-\alpha )$，所以 $y=cos\alpha$ 是偶函数。

3，因为 $y=tan\alpha =-tan(-\alpha )$，所以 $y=tan\alpha$ 是奇函数。

关于 π/2 的化简

$sin(\frac{\pi }{2}-\alpha )$ 可以理解为下图的 $\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$，而这个值其实也等于 $cos\alpha$，所以 $sin(\frac{\pi }{2}-\alpha )=cos\alpha$。

同理，$cos(\frac{\pi }{2}-\alpha )=sin\alpha$，

$tan(\frac{\pi }{2}-\alpha )=\frac{1}{tan\alpha }=cot\alpha$

关于 π 的化简

$\{\begin{array}{l}sin(\pi -\alpha )=sin\alpha \\ cos(\pi -\alpha )=-cos\alpha \\ tan(\pi -\alpha )=-cos\alpha \end{array}$

奇变偶不变，符号看象限

奇变偶不变，符号看象限这句话的意思是说，对于

$\{\begin{array}{l}sin(\alpha +k\cdot \frac{\pi }{2})\\ \mathrm{或}\\ cos(\alpha +k\cdot \frac{\pi }{2})\end{array}$（注意 $\alpha$ 的系数可为正，可为负。把系数包括在一起看作一个整体，最后只有 $sinA,cosA$ 时再去化简 $A,B$）

当 $k$ 为奇数时，左边的式子可以相应的化简为 $cos\alpha \mathrm{或}sin\alpha$，但这时候还没完，我们还没有确定正负符号。取正还是取负取决于原式子的符号。

比如举例子：

$sin(\alpha -\frac{3}{2}\pi )=sin(\alpha +\frac{\pi }{2})=cos\alpha$

$cos(\alpha +\pi )=cos(\alpha +2\cdot \frac{\pi }{2})=-cos\alpha$

$cos(\frac{7}{2}\pi -\alpha )=cos(\frac{3}{2}\pi -\alpha )=cos(\alpha -\frac{3}{2}\pi )=cos(\alpha +\frac{\pi }{2})=-sin\alpha$