03 古典模型

我们将一个随机事件 $A$ 发生的概率称为 $P(A)$。

古典概率模型：

1. 古典概型的概率是有限性的，也就是说他的样本空间（结果集合）是有限的。
2. 等可能性。也就是说每个样本点的概率都是相同的（每个结果都是等可能的。）

求随机事件 $A$ 的概率：$\frac{\mathrm{事}\mathrm{件}A\mathrm{发}\mathrm{生}\mathrm{的}\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{点}\mathrm{数}}{\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{空}\mathrm{间}\mathrm{的}\mathrm{总}\mathrm{点}\mathrm{数}}$

或者说 求随机事件 $A$ 的概率为 $\frac{\mathrm{事}\mathrm{件}A\mathrm{发}\mathrm{生}\mathrm{的}\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{集}\mathrm{合}\mathrm{数}}{\mathrm{样}\mathrm{本}\mathrm{空}\mathrm{间}\mathrm{总}\mathrm{的}\mathrm{集}\mathrm{合}\mathrm{数}}$

即 $P(A)=\frac{k}{n}=\frac{n(A)}{n(\mathrm{\Omega })}$

例题 1

单项选择题是标准化考试中常用的题型，一般是从 $A,B,C,D$ 四个选项中选择一个正确答案，如果考生掌握了考查的内容，他可以选择唯一正确的答案。假设考生有一题不会做，他随机的选择了一个答案，答对的概率是多少？

解：

样本空间由 $A,B,C,D$ 这四个结果组成。

即 $\mathrm{\Omega }=\{A,B,C,D\}$

答对的样本集合的元素只有一个。

$M=\mathrm{正}\mathrm{确}\mathrm{的}\mathrm{答}\mathrm{案}$

$\therefore P(M)=\frac{n(M)}{n(\mathrm{\Omega })}=\frac{1}{4}$

例题 2

抛掷两枚之地均匀的骰子（标记为 I 号和 II 号），观察两枚骰子分别可能出现的基本结果。

（1）写出这个试验的样本空间，并判断这个试验是否为古典概型；

（2）求下列事件的概率；

A="两个点数之和是 5"

B="两个点数想等"

C="I 号骰子的点数大于 II 号骰子的点数"

解：

（1）

1. 1,2,3,4,5,6
2. 1,2,3,4,5,6
3. 1,2,3,4,5,6
4. 1,2,3,4,5,6
5. 1,2,3,4,5,6
6. 1,2,3,4,5,6

每个样本点出现的概率都为 $\frac{1}{6\times 6}=\frac{1}{36}$，所以是古典概型。

（2）

$P(A)=\frac{1+1+1+1}{36}=\frac{1}{9}$

$P(B)=\frac{1+1+1+1+1+1}{36}=\frac{1}{6}$

$P(C)=\frac{1+2+3+4+5}{36}=\frac{15}{36}=\frac{5}{12}$

例题 3

袋子中有 5 个大小质地完全相同的球，其中 2 个红球，3 个黄球，从中不放回地一次随机摸出 2 个球，求下列事件的概率：

（1）A="第一次摸到红球"

（2）B=“第二次摸到红球”

（3）AB=“两次都摸到红球”

解：

红 1
  - 红 2   --- 事件 1
  - 黄 1   --- 事件 2
  - 黄 2   --- 事件 3
  - 黄 3   --- 事件 4
红 2
  - 红 1   --- 事件 5
  - 黄 1   --- 事件 6
  - 黄 2   --- 事件 7
  - 黄 3   --- 事件 8
黄 1
  - 红 1   --- 事件 9
  - 红 2   --- 事件 10
  - 黄 2   --- 事件 11
  - 黄 3   --- 事件 12
黄 2
  - 红 1   --- 事件 13
  - 红 2   --- 事件 14
  - 黄 1   --- 事件 15
  - 黄 3   --- 事件 16
黄 37
  - 红 1   --- 事件 17
  - 红 2   --- 事件 18
  - 黄 1   --- 事件 19
  - 黄 2   --- 事件 20

（1）

$n(\mathrm{\Omega })=4\times 5=20$

$n(A)=4\times 2=8$

所以 $P(A)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$

(2)

$n(B)=1+1+2+2+2=8$

所以 $P(B)=\frac{8}{20}=\frac{2}{5}$

(3)

$n(AB)=2$

$P(AB)=\frac{2}{20}=\frac{1}{10}$

例题 4

解：

（1）略

（2）

$P(A)=\frac{k}{n}=0.25$

$P(B)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$

$P(C)=\frac{0}{4}=0$