14 大题 - 大题中的弦长公式 (中档)

例题 1

解：

（1）

（2）

例题 2

已知点 $A(x_1,y_2),B(x_2,y_2)$ 为曲线 $C:y^2=2px(p>0)$ 上的动点，满足 $x_1+x_2=4$。且当直线 $AB$ 经过曲线 $C$ 的焦点 $F$ 时，弦 $AB$ 的长为 $7$。

（1）求曲线 $C$ 的方程；

（2）若弦 $AB$ 的中垂线交 $x$ 轴于点 $M$，求 $\mathrm{△}MAB$ 的最大值

解：

（1）

$|AB|=7=\frac{P}{2}+x_1+\frac{P}{2}+x_2=P+4$

所以 $P=3$

所以曲线 $C:y^2=6x$

（2）

假设直线 $AB$ 与曲线 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，直线 $AB$ 的中点为 $N$，$AB$ 的中垂线与 $x$ 轴交于点 $M$。

$S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}|AB||MN|$

所以我们先要表示出 $|AB|$ 和 $|MN|$ 的值。

我们知道，利用弦长公式，可以表示出 $|AB|$ 的长度。

并且由题意得，$AB$ 不可能垂直于 $x$ 轴，因为它的中垂线与 $x$ 轴相交于一点。

$AB$ 也不可能与 $y$ 轴垂直，因为它与抛物线有两个交点。

所以我们可以设直线的方程为 $y=kx+b$ 或者 $x=my+n$。

但我们发现使用 $x=my+n$ 的直线方程后面联立求解根时更方便，所以

设直线 $l_{AB}:x=my+n$

联立得：

$\{\begin{array}{l}x=my+n\\ y^2=6x\end{array}$

得出两根关系的二次函数方程：

$y^2-6my-6n=0$

$\therefore y_1{y}_2=-6n,y_1+y_2=6m$

根据弦长公式，得出

$|AB|=\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}\cdot \frac{\sqrt{\mathrm{\Delta }}}{|a|}$

$=\sqrt{1+m^2}\cdot \frac{\sqrt{36m^2+24n}}{1}=2\sqrt{1+m^2}\cdot \sqrt{9m^2+6n}$

到这里，我们别忘了题目给了一个关键的条件，

$x_1+x_2=4$

$x_1+x_2=m{y}_1+n+m{y}_2+n=m(y_1+y_2)+2n$

$=6m^2+2n=4$

$\therefore 3m^2+n=2$

所以

$|AB|=2\sqrt{1+m^2}\sqrt{12-9m^2}$

$|AB|$ 求出来了，接下来求 $|MN|$。

因为 $N$ 为 $AB$ 的中点，所以 $N(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2})$ 即

$N(2,3m)$

$M$ 的坐标我们不知道，但我们能求出直线 $MN$ 的斜率，根据点斜式也能写出直线 $MN$ 的方程。

$k_{mn}=-m$

$\therefore l_{MN}:y=-m(x-2)+3m=m(5-x)$

$\therefore l_{MN}\mathrm{恒}\mathrm{过}\mathrm{定}\mathrm{点}(5,0)$

所以 $M(5,0)$

由两点间距离公式得，

$|MN|=\sqrt{9+9m^2}=3\sqrt{1+m^2}$

到这里我们就把 $|AB|$ 和 $|MN|$ 的值全部用 $m$ 表示出来了。

接下里就是表示出 $S_{\mathrm{△}ABC}$ 的面积。

$S_{\mathrm{△}ABC}=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{1+m^2}\sqrt{12-9m^2}\cdot 3\sqrt{1+m^2}$

$=3(1+m^2)\sqrt{12-9m^2}$

$=3\sqrt{(1+m^2)(1+m^2)(\frac{8}{3}-2m^2)\cdot \frac{9}{2}}$

$=3\cdot \frac{3}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{(1+m^2)(1+m^2)(\frac{8}{3}-2m^2)}$

然后由三元不等式 $\sqrt[3]{abc}\le \frac{a+b+c}{3}$ 得，当 $1+m^2=\frac{8}{3}-2m^2$ 也就是当 $m=\pm \frac{\sqrt{5}}{3}$ 时取得最大值。

$\frac{9}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{(1+m^2)(1+m^2)(\frac{8}{3}-2m^2)}$

$\le \frac{9}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{(\frac{1+m^2+1+m^2+\frac{8}{3}-2m^2}{3}{)}^3}$

$\le \frac{9}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{(\frac{2+\frac{8}{3}}{3}{)}^3}$

$\le \frac{9}{\sqrt{2}}\cdot \frac{14}{9}\cdot \sqrt{\frac{14}{9}}$

$\le \frac{14}{\sqrt{2}}\cdot \sqrt{\frac{14}{9}}$

$\le \frac{14\sqrt{7}}{3}$