01_最值点就一定是极值点？

在理论和实际中，函数的最值和极值是一个经常接触到的概念。一般来说，最值是全局最优解，极值是局部最优解。但是最值和极值具体的不同之处你是否都清楚呢？小编在本文将会详细阐述。

1. 极值与最值的含义

首先，大家一定要清楚极值与最值的区别。

谈论函数的极值与最值，都是基于一个区间来说的，这个区间可以是开区间、闭区间，也可以是半开半闭区间。

要理解极值与最值的区别，最好的方法就是结合图形去看，大家不妨看看图 1 中的函数曲线。

图 1.极值点判断图

你能看出函数 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上最值点和极值点的数量情况吗？

最值点容易判断，最大值点 1 个，最小值点 1 个。最大值就是函数在一个区间内所能取到的最大值，最小值就是函数在一个区间内所能取到的最小值。一定要记住，小编在这里用到了“取到”两个字。对于图 1 的函数 $f(x)$，$f(x)$ 在点 $x_0$ 处取得最大值，在 $x_1$ 处取得最小值，相应的，$x_0$ 称为最大值点，$x_1$ 称为最小值点。

那么极值点的数量情况呢？

在统计极值点数量之前，小编先把极值的定义给出来，如下所示：

根据极值的定义，显然图 1 中至少有 3 个极大值点（图 2 中红色的点）和 2 个极小值点（图 2 中绿色的点）！但是区间的端点呢，也就是 $x=a,x=b$ 是不是极值点呢？

图 2.函数 $f(x)$ 极值点标注图

大家一定要记住，区间的端点不是极值点，因为，如果 $x=c$ 是极值点，那么点 $c$ 的函数值 $f(c)$ 必须是点 $c$ 的左、右两侧的局部区域的唯一最值。比如图 2 中的端点 $a$，$f(a)$ 只是点 $a$ 的右侧局部区域的唯一最小值，因此 $x=c$ 不是极值点。

所以图 1 中函数 $f(x)$ 就只有 $3$ 个极大值点和 $2$ 个极小值点。

2. 最值点一定是极值点吗？

显然不是。

不妨看看下图 3。

图 3.最值点不一定是极值点示意图

在左图中，$f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上存在最大值，区间 $[c,d]$ 之间的任意一点都是最大值点。但是 $f(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上不存在极大值，因为函数在区间 $[c,d]$ 内的任意一点都不满足极值的定义，即左右两侧局部区域的唯一最值。

在右图中，函数 $g(x)$ 在闭区间 $[a,b]$ 上存在最值，两个端点分别为最大值点和最小值点。但是 $g(x)$ 在闭区间上同样不存在极值点。

3. 函数在一个区间内必有最值吗

不是，只有满足两个条件，函数在一个区间内才必有最大值和最小值：闭区间，连续。即连续函数在闭区间内必有最大值和最小值，这就是有界性与最大值最小值定理的部分内容。

一个很简单的例子，就是函数 $f(x)=tanx$ 在开区间 $(\frac{-\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 内虽然连续，但是没有最值。