难度： 困难

标签： 导数问题多变量问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

设函数 $f(x)=\frac{x+1}{e^x}+a{x}^2$，其中 $a\in R$.

（1）讨论 $f(x)$ 的单调性；

（2）若 $f(x)$ 存在两个极值点，设极大值点为 $x_0$，$x_1$ 为 $f(x)$ 的零点，求证：$x_0-x_1⩾ln2$.

解（1）

$f(x)=\frac{x+1}{e^x}+a{x}^2$

$f^{\prime }(x)=\frac{e^x-(x+1)e^x}{e^{2x}}+2ax$

$=\frac{-x}{e^x}+2ax$

$=\frac{2ax{e}^x-x}{e^x}$

$=\frac{x(2a{e}^x-1)}{e^x}$

一、若 $a⩽0$

$x<0,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$x>0,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

二、若 $a>0$

$2a{e}^x-1=0$

$x=ln\frac{1}{2a}$

（i）$0<a<\frac{1}{2}$

$x=ln\frac{1}{2a}>0$

$x<0,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$0<x<ln\frac{1}{2a},f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>ln\frac{1}{2a},f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

（ii）$a=\frac{1}{2}$

$x=0$

$f^{\prime }(x)⩾0,f(x)\uparrow$

（iii）$a>\frac{1}{2}$

$x=ln\frac{1}{2a}<0$

$x<ln\frac{1}{2a},f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

$ln\frac{1}{2a}<x<0,f^{\prime }(x)<0,f(x)\downarrow$

$x>0,f^{\prime }(x)>0,f(x)\uparrow$

解（2）法一（常规方法，把零点移到等式的一边去）

因为 $f(x)$ 存在两个极值点，

所以 $0<a<\frac{1}{2}$ 或 $a>\frac{1}{2}$

一、当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时

极大值点 $x_0=0$

证 $x_0-x_1⩾ln2$

即证 $x_0-ln⩾x_1$

$-ln2⩾x_1$

$x_1⩽-ln2<0$

$f(x_1)⩽f(-ln2)$

$f(-ln2)⩾0$

$\frac{-ln2+1}{\frac{1}{2}}+a(ln2{)}^2⩾0$

$-2ln2+2+a(ln2{)}^2⩾0$

$-2+\frac{2}{ln2}+aln2⩾0$

因为 $-2+\frac{2}{ln2}+aln2>-2+\frac{2}{ln2}>-2+\frac{2}{lne}=0$

所以 $x_0-x_1⩾ln2$

二、当 $a>\frac{1}{2}$

$x_0=ln\frac{1}{2a}$

证 $x_0-x_1⩾ln2$

即证

$0>ln\frac{1}{2a}>ln\frac{1}{2a}-ln2⩾x_1$

$f(ln\frac{1}{2a}-ln2)⩾f(x_1)=0$

$f(ln\frac{1}{4a})⩾0$

$\frac{-ln4a+1}{\frac{1}{4a}}+a(ln4a{)}^2⩾0$

$-4aln4a+4a+a(ln4a{)}^2⩾0$

$-4+\frac{4}{ln4a}+ln4a⩾0$

因为 $-4+\frac{4}{ln4a}+ln4a⩾-4+2\sqrt{4}=0$，当且仅当 $2=ln4a,e^2=4a,a=\frac{e^2}{4}$ 时取等

所以 $x_0-x_1⩾ln2$

证毕。

解（2）法一（根据零点方程、极值点方程 2 个方程，把 a 消掉得出 $x_0,x_1$ 关系）

因为 $f(-1)=a>0$

所以 $x_1<-1$

当 $0<a<\frac{1}{2}$ 时

证 $x_0=0$

即证 $-x_1⩾ln2$

$-x_1>lne>lne2$

所以 $x_0-x_1⩾ln2$

当 $a>\frac{1}{2}$ 时

证 $x_0-x_1⩾ln2$

$\{\begin{array}{l}\frac{x_1+1}{e^{x_1}}=-a{x}_1^2\\ x_0=ln\frac{1}{2a}\end{array}$

$e^{x_0}=\frac{1}{2a}$

$a=\frac{1}{2e^{x_0}}$

$\frac{x_1+1}{e^{x_1}}=-\frac{x_1^2}{2e^{x_0}},(x_1<-1)$

$2e^{x_0}(x_1+1)=-x_1^2{e}^{x_1}$

$2e^{x_0-x_1}=-\frac{x_1^2}{x_1+1}$

$-2e^{x_0-x_1}=\frac{x_1^2}{x_1+1}=\frac{(x_1+1{)}^2-2(x_1+1)+1}{x_1+1}=x_1+1+\frac{1}{x_1+1}-2(x_1<-1)$

所以 $-2e^{x_0-x_1}<-4$

$e^{x_0-x_1}>2$

$x_0-x_1>ln2$

TIP

对于 $f^{\prime }(x)=\frac{x(2a{e}^x-1)}{e^x}$ 这种类二次导函数，根据 $a$ 的取值范围分类，可以分一、二两种情况，第二种情况下还可以细分 3 种情况。

一、$a<0$

此时 $(2a{e}^x-1)<0$ 恒成立

二、$a>0$

$2a{e}^x-1=0$

$x=ln\frac{1}{2a}$

然后根据 $x=ln\frac{1}{2a}$ 与 $0$ 的关系，再分 3 种情况进行讨论：

1. $\frac{1}{2a}<0$
2. $\frac{1}{2a}=0$
3. $\frac{1}{2a}>0$

TIP

$f(x)=x+\frac{1}{x}-2$ 是双钩函数，

$x>0$ 时，$f(x)⩾1$，当 $x=1$ 时取等

$x<0$ 时，$f(x)⩽-1$，当 $x=-1$ 时取等

TIP

看到 $\frac{x_1^2}{x_1+1}$，想到双钩函数。

$\frac{x_1^2}{x_1+1}=\frac{(x_1+1{)}^2-2(x_1+1)+1}{x_1+1}=x_1+1+\frac{1}{x_1+1}-2(x_1<-1)$