15 弹簧分离问题

题型特征

弹簧一头有俩物体，先一起，后分离。

弹簧分离问题

分离前

分离后

各玩各的，单独列牛二方程。

分离瞬间

例题

题 1

解

先加速，后减速。

$C$

题 2

解

B，$F-mg=m\cdot \frac{g}{2}$

A，$T-mg=m\cdot \frac{g}{2}$ 方向向上为正。（或者这样分析，A 加速向上，那么 T > mg，所以处于压缩状态）

$T=\frac{3}{2}mg$

$AC$

题 3

错解

一开始就假定了弹簧的弹力方向。但是并不清楚弹簧的弹力方向。

$T-Mg=Ma$

$mg=ma$

$T=2Mg$

所以此时弹簧弹力向上，$T=2Mg$

$B$

正解

对 B，$mg=ma$

$a=g$，方向竖直向下。

所以对于物体 A 来说，加速度也应该为 g，方向竖直向下。

那么此时 A 只能只受重力，不受弹力，所以此时弹簧为原长。

$BD$

题 4

解

$mg-kx=ma$

$x=\frac{mg-ma}{k}$

$x=\frac{1}{2}a{t}^2$

$t=\sqrt{\frac{2(mg-ma)}{ka}}$

题 5

错解

错误原因，以为弹簧形变量就是物体走过的距离。

（1）

$F-\mu mg=ma$

$F=6+0.5\times 30=21N$

（2）

$a$ 向右，所以

$kx-\mu mg=ma$

$x=\frac{6+15}{100}=0.21m$

$x=\frac{1}{2}a{t}^2$

$t=\sqrt{0.21}$

正解

（1）

$F-\mu mg=ma$

$F=6+0.5\times 30=21N$

（2）

$a$ 向右，所以

$kx-\mu mg=ma$

$x_1=\frac{6+15}{100}=0.21m$

$k{x}_2=2mg\mu$

$x_2=\frac{2\times 30\times 0.5}{100}=0.3$

$x=x_2-x_1=0.09$

$x=\frac{1}{2}a{t}^2$

$t=\sqrt{\frac{2x}{a}}=0.3s$

题 6

解

对整体进行分析，

$F+T-(m_1+m_2)gsin\theta =ma$，a 不变，T 在减小，那么 F 在增大。

所以 A 错。

$N_0=m_{2}gsin\theta$

对 Q，$F-m_{2}gsin\theta +N=ma$，F 慢慢增大，那么 N 就在慢慢减小。

所以 B 对。

C，错。$T-m_{1}gsin\theta =ma$，$T>m_{1}gsin\theta$

D，对。$T>m_{1}gsin\theta$，仍将加速一小段距离。

题 7

TIP

弹簧连接体分离问题，在物体分离前需要将两个物体视为一个整体。

在分离后再各自列方程。

解法一

当分离瞬间，F 最大。

$F-m_{2}gsin{37}^{\circ }=m_{2}a$

$k{x}_2-m_{1}gsin{37}^{\circ }=m_{1}a$

$k{x}_1=(m_{1}g+m_{2}g)sin{37}^{\circ }$

$x_1-x_2=\frac{1}{2}a{t}^2$

联立上面四个方程，可以解得 $a=3m/s^2$

$F_{max}=8\times 10\times 0.6+8\times 3=48+24=72N$

然后对整体进行分析，$F+T-(m_{1}g+m_{2}g)sin{37}^{\circ }=(m_1+m_2)a$

当 $T$ 最大时，$F$ 最小。$T_{max}=(m_{1}g+m_{2}g)sin{37}^{\circ }$

所以 $F_{min}=(m_1+m_2)a=12\times 3=36N$

解法二

还可以利用弹簧两次受力的结论 $F_2-F_1=\mathrm{\Delta }x$

来列方程。更好解。

还为作用 F 时，

$T_1=(m_{1}g+m_{2}g)sin{37}^{\circ }$

分离瞬间：

$T_2-m_{1}gsin{37}^{\circ }=m_{1}a$

$F-m_{2}gsin{37}^{\circ }=m_{2}a$

又有 $T_1-T_2=k\mathrm{\Delta }x$

$\mathrm{\Delta }x=\frac{1}{2}a{t}^2$

可以解得 $a=3$

再然后解出 $F_{max}=72N$

再利用整体法求出 $F_{min}=36N$