难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题定点定值问题垂径定理求四边形面积

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

A: $(x+1{)}^2+y^2=16$

$A(-1,0)$

因为 $AC//AB$

所以 $\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ABD$

因为 $AD=AC$

所以 $\mathrm{\angle }ADB=\mathrm{\angle }ACB=\mathrm{\angle }ABD$

所以 $ED=EB$

所以 $EA+EB=EA+ED=r=4$

所以 E 的轨迹诗歌椭圆

$a=2,c=1,b=\sqrt{3}$

$\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1(y\ne 0)$

解（2）

设直线 $MN:x=my+1（k=\frac{1}{m}）$

$\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1\\ x=my+1\end{array}$

$3x^2+4y^2-12=0$

$3(my+1{)}^2+4y^2-12=0$

$(3m^2+4)y^2+6my-9=0$

$y_1+y_2=\frac{-6m}{3m^2+4},y_1{y}_2=\frac{-9}{3m^2+4}$

$|MN|=\sqrt{1+m^2}|y_1-y_2|$

$=\sqrt{1+m^2}\frac{\sqrt{4\times 4\times 3(3m^2+4-1)}}{4+3m^2}$

$=\frac{12(m^2+1)}{3m^2+4}$

$d=\frac{2}{\sqrt{1+\frac{1}{m^2}}}$

$|PQ|=2\sqrt{16-\frac{4}{1+\frac{1}{m^2}}}$

$=2\sqrt{16-\frac{4m^2}{m^2+1}}$

$=4\sqrt{4-\frac{m^2}{m^2+1}}$

$=4\sqrt{\frac{3m^2+4}{m^2+1}}$

$S=\frac{1}{2}|MN||PQ|$

$=\frac{1}{2}\frac{12(m^2+1)}{3m^2+4}4\sqrt{\frac{3m^2+4}{m^2+1}}$

$=24\frac{\sqrt{m^2+1}}{\sqrt{3m^2+4}}$

$=24\sqrt{\frac{\frac{1}{3}(3m^2+3)}{3m^2+4}}$

$=24\sqrt{\frac{1}{3}\frac{3m^2+4-1}{3m^2+4}}$

$24\sqrt{\frac{1}{3}(1-\frac{1}{3m^2+4})},m^2\in [0,+\mathrm{\infty })$

所以 $S_{max}=24\sqrt{\frac{1}{3}}=8\sqrt{3}$（取不到）

$S_{min}=24\sqrt{\frac{1}{3}\frac{3}{4}}$

$=12$

所以 $S\in [12,8\sqrt{3})$

TIP

算一条直线与圆的弦长，不用联立使用弦长公式，直接用垂径定理！！

垂径定理

一条直线和圆有两个交点，求弦长。

不用联立使用弦长公式，直接使用垂径定理最简单！

$\mathrm{弦}\mathrm{长}=2\sqrt{r^2-\mathrm{圆}\mathrm{心}\mathrm{到}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{的}\mathrm{距}\mathrm{离}}$

TIP

假设过一个定点的直线为 $x=my+n,y=kx+b$，

那么对应这条直线的垂线且过这个定点的方程为 $x=-\frac{1}{m}y+n,y=-\frac{1}{k}x+b$