14 题型技巧课：最大功率问题

题型特征

路端有滑变，问何时定值电阻功率/可变电阻功率/输出功率/效率最大。

定值电阻的功率

$P_R=I^2{R}_0$

路端电流越大，定值电阻功率越大。

什么时候输出功率最大？

$P_{\mathrm{输}\mathrm{出}}=I^{2}R$

$=(\frac{E}{R+r}{)}^{2}R$

$=\frac{E^2}{R^2+r^2+2Rr}R$

$=\frac{E^2}{R^2+r^2-2Rr+4Rr}R$

$=\frac{E^2}{(R-r{)}^2+4Rr}R$

$=\frac{E^2}{\frac{(R-r{)}^2}{R}+4r}$

当 $R=r$ 时，$P_{\mathrm{输}\mathrm{出}}$ 最大，为 $\frac{E^2}{4r}$。

当 $R_{\mathrm{外}}=r$ 时，最大值为 $\frac{E^2}{4r}$，可以这样理解。$r=R$，那么电源内阻和外电阻的分压相同，都是 $\frac{E}{2}$，那么外电阻的功率为 $\frac{(\frac{E}{2}{)}^2}{r}=\frac{E^2}{4r}$

图像

得出结论

• $R_{\mathrm{路}}$ 越接近 $r$，输出功率越大
• $R_{\mathrm{路}}=r$ 时，电源输出功率最大！$P_{\mathrm{路}}=\frac{E^2}{4r}$ (大题可直接用！)
• 此时电源内阻功率和电源输出功率一样！电源输出功率占总功率的一半！

可变电阻功率最大

路端没有其他电阻，只有可变电阻时，$R=r$ 可变电阻功率最大。

路端有其他电阻时，将 $r+R_0$ 等效成内阻。当 $R_{\mathrm{滑}}=r+R_0$ 时滑变功率最大。

三功率梳理

什么时候电源效率最大？

由 $n=\frac{R}{R+r}$，滑变最大时效率最大。

电源输出功率最大 VS 电源效率最大

电源输出功率最大：

输出的量最大。

电源效率最大：

外电阻的 R 很大，电流很小。

例题

题 1

解

$BD$

题 2

解

1. $P_{R_1}=I^{2}R$

$I\uparrow ,R\uparrow ，$

$0\mathrm{\Omega }$

2. $R_2=R_1+r=2.5\mathrm{\Omega }$

3. $r=R_1+R$

当外电路电阻等于内电阻，电源输出功率最大。

$R=2-0.5=1.5\mathrm{\Omega }$

4. 10

外电阻越大，效率越高。

题 3

解

A 灯多，并联，总电阻变小。错。

B 灯少，电阻变大，电压变大。错。

C 对。灯多灯总电阻变小，总电流变大。

D 不一定。

$C$

题 4

解

交点为输出功率最大点，此时 $R=r$

$U=\frac{P}{I}=2V=U_r=R_R=2V$

$E=U_r+U_R=4V$

$P=I^{2}r=4=4r$

$r=1\mathrm{\Omega }$

A、B 对。

C 错。

D $P_r=\frac{E^2}{r}=\frac{16}{1}=16W$

$ABD$

题 5

解

$BC$

题 6

解

（1）

0，1A。

（2）

$r^{\prime }=5+3=8\mathrm{\Omega }$

$P_R=\frac{(\frac{E}{2}{)}^2}{r^{\prime }}=\frac{64}{32}=2W$