难度： 困难

标签： 圆锥曲线抛物线最值范围问题求四边形面积抛物线

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

设 P 点 $(x,y)$

$r=\frac{|PF|}{2}=\frac{\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}}{2}$

$r=\frac{x+1}{2}$

$x+1=\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}$

$y^2=4x$

解（2）

设 $l:x=my+1$

$A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$

直线 AM: $x-x_1=-\frac{1}{m}(y-y_1)$

直线 BN: $x-x_2=-\frac{1}{m}(y-y_2)$

$M(\frac{y_1}{m}+x_1,0),N(\frac{y_2}{m}+x_2,0)$

$|MN|=|\frac{y_1-y_2}{m}+x_1-x_2|=|\frac{1}{m}(y_1-y_2)+m{y}_1-m{y}_2|$

$=|(\frac{1}{m}+m)(y_1-y_2)|$

$S=\frac{1}{2}|MN|\cdot |y_1-y_2|$

$\{\begin{array}{l}{y}^2=4x\\ x=my+1\end{array}$

$y^2-4my-4=0$

$y_1{y}_2=-4,y_1+y_2=4m$

$|y_1-y_2|=\sqrt{(y_1+y_2{)}^2-4y_1{y}_2}=\sqrt{16m^2+16}$

$S=\frac{1}{2}|(\frac{1}{m}+m)(y_1-y_2)||y_1-y_2|$

$=\frac{1}{2}|\frac{1}{m}+m|(y_1-y_2{)}^2$

$=\frac{1}{2}|\frac{1}{m}+m|(16m^2+16)$

$=8|\frac{1}{m}+m|(m^2+1)$

$=8(|m|+\frac{1}{|m|}+|m{|}^3+|m|)$

令 $|m|=t,t>0$（因为直线 l 不可能竖直，这样就会没有交点了）

$S=8(t^3+2t+\frac{1}{t})$

$f(t)=t^3+2t+\frac{1}{t}$

$f^{\prime }(t)=3t^2+2-\frac{1}{t^2}$

$f^{\prime }(t)=0,t^2=\frac{1}{3},t=\frac{\sqrt{3}}{3}$

所以在 $t=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 处取得最小值

因为抛物线关于 x 轴对称，所以 $m$ 有两个解。

$t=|m|=\frac{\sqrt{3}}{3},m=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$x=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}y+1$

TIP

以焦点弦长为直径的圆，与准线相切，这就是抛物线。

抛物线的第二定义？

TIP

当看到有 2 个点在轴上的时候，先解出两个点。

利用这两个点可能包含了韦达定理、弦长公式在里面。

TIP