01 直线的斜率与倾斜角

说说

斜率 k

对于 $y=kx+b$，其中的 $k$ 我们称之为斜率。

并且 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}((x_1,y_1)\mathrm{和}(x_2,y_2)\mathrm{是}\mathrm{直}\mathrm{线}\mathrm{上}\mathrm{的}\mathrm{不}\mathrm{同}\mathrm{的}\mathrm{两}\mathrm{点})$

怎么证明 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ 呢？

因为 $(x_1,y_1)$ 和 $(x_2,y_2)$ 是直线上的不同的两点，所以我们可以将它们带入方程 $y=kx+b$，得到

$\{\begin{array}{l}{y}_1=k{x}_1+b\\ y_2=k{x}_2+b\end{array}$

所以 $y_2-y_1=k(x_2-x_1)$

即 $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

倾斜角

我们将一条直线在 x 轴面的部分与 x 轴正半轴所形成的夹角 $\alpha$ 称为倾斜角。

$\alpha \in [0,{180}^{\circ })$（因为 ${180}^{\circ }$ 会与 $0^{\circ }$ 重合，所以规定倾斜角不能等于 ${180}^{\circ }$）

$\{\begin{array}{l}\mathrm{当}\alpha ={90}^{\circ }，\mathrm{斜}\mathrm{率}k\mathrm{不}\mathrm{存}\mathrm{在}\\ 0^{\circ }<\alpha <{90}^{\circ },k>0\\ {90}^{\circ }<\alpha <{180}^{\circ },k<0\end{array}$，在直线越陡时，斜率的绝对值 $|k|$ 是越大的。当直线越平缓时，斜率的绝对值 $|k|$ 是越小的。

斜率是等于倾斜角的正切的。$tan\alpha =k$。

两条直线平行或垂直时斜率的关系

若 $l_1\parallel l_2,\mathrm{则}{k}_1=k_2$。

若 $l_1\perp l_2,\mathrm{则}{k}_1{k}_2=-1,（\mathrm{即}{k}_1{k}_2\mathrm{互}\mathrm{为}\mathrm{负}\mathrm{倒}\mathrm{数}）(\mathrm{前}\mathrm{提}{k}_1{k}_2\ne 0)$

例题

例题 1

已知直线 $kx-y+2=0$ 和以 $M(3,-2),N(2,5)$ 为端点的线段相交，则实数 $k$ 的取值范围为（）。

$A.k\le \frac{3}{2}$

$B.k\ge \frac{3}{2}$

$C.-\frac{4}{3}\le k\le \frac{3}{2}$

$D.k\le -\frac{4}{3}\mathrm{或}k\ge \frac{3}{2}$

解：

$k_{max}=\frac{5-2}{2-0}=\frac{3}{2}$

$k_{min}=\frac{4}{0-3}=-\frac{4}{3}$

例题 2

已知两点 $A(0,1),B(4,3)$，则线段 $AB$ 的垂直平分线方程是_____.

解：

设 $AB$ 线段的中点为 $T$，则 $T(\frac{0+4}{2},\frac{1+3}{2})\mathrm{即}T(2,2)$

因为 $k\cdot k_{AB}=-1$

$\therefore k\cdot \frac{3-1}{40}=-1$

$k=-2$

根据点斜式写出方程：$y=-2(x-2)+2$