10 题型技巧课：天体质量密度问题

题型特征

1. 已知环绕体 T、r，求中心天体质量
2. 已知 g 求质量
3. 求密度

环绕方程求 M

求密度

步骤：

1. 先利用环绕模型方程、黄金代换公式求出 M
2. 在利用密度公式求出密度

不要图省事记结论，应该现推。

特别说明

通过环绕模型方程只能求出中心天体质量密度，无法求出环绕体的。因为 $m$ 被约掉。

例题

题 1

解

$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$

$GM{T}^2=4{\pi }^2{r}^3$

$M=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}$

$A$

题 2

解

$\frac{GMm}{r^2}=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}r$

$M=\frac{4{\pi }^2{r}^3}{G{T}^2}$

$\frac{M_1}{M_2}=\frac{\frac{R_1^3}{T_1^2}}{\frac{R_2^3}{T_2^2}}=\frac{R_1^3}{R_2^3}\frac{T_2^2}{T_1^2}$

$B$

题 3（黄金代换求 M）

TIP

测 G、测地球质量的都是卡文迪许。

TIP

$\frac{GMm}{R^2}=mg$

$M=\frac{g{R}^2}{G}$

$\frac{GMm}{r^2}=\frac{GMm}{R^2}=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}R$

$M=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G{T}^2}$

$AC$

题 4

解

$r=R$

$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}R$

$M=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G{T}^2}$

$V=\frac{4}{3}\pi R^3$

$\rho =\frac{M}{V}=\frac{3\pi }{G{T}^2}$

$B$

题 5

解

$r=R$

$\frac{GMm}{R^2}=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}R$

$T=\sqrt{\frac{4{\pi }^2{R}^3}{GM}}$

$=\sqrt{\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G\times \rho \times \frac{4}{3}\pi R^3}}$

$=\sqrt{\frac{3\pi }{G\rho }}$

$A$

题 6

解

$\frac{GMm}{R^2}=mg$

$M=\frac{g{R}^2}{G}$

$\rho =\frac{M}{V}=\frac{\frac{g{R}^2}{G}}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3g}{4\pi RG}$

$A$

题 7

解

要求密度，就要求 M，用 T 或黄金代换公式。没有 T，所以用黄金代换。

$g=\frac{v_0}{\frac{t}{2}}=\frac{2v_0}{t}$

$\frac{GMm}{R^2}=mg$

$M=\frac{g{R}^2}{G}=\frac{2v_0{R}^2}{Gt}$

$\rho =\frac{M}{V}=\frac{\frac{2v_0{R}^2}{Gt}}{\frac{4}{3}\pi R^3}=\frac{3v_0}{2G\pi Rt}$

$A$

题 8

解

（1）

$mg=m\frac{4{\pi }^2}{T^2}R$

$g=\frac{4{\pi }^2}{T^2}R$

（2）

$\frac{GM{m}^{\prime }}{R^2}=m^{\prime }g$

$M=\frac{g{R}^2}{G}=\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G{T}^2}$

$\rho =\frac{M}{V}=\frac{\frac{4{\pi }^2{R}^3}{G{T}^2}}{\frac{4}{3}\pi R^3}$

$=\frac{3\pi }{G{T}^2}$

题 9

解

$h=\frac{1}{2}g{t}^2$

$\frac{GMm}{R^2}=mg$

$\rho =\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^2}$

$g=\frac{2h}{t^2}$

$\rho =\frac{3h}{2G\pi R{t}^2}$