难度： 困难

标签： 权方和不等式配凑最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

若 $9x^2+4y^2+6xy=1,x,y\in R,\mathrm{则}9x+6y$ 的最大值为（）

解

法一，自己想出来的办法：

$9x+6y=3(2x+2y)$，先求 $2x+2y$ 的最大值。

$9x^2+4y^2+6xy=1$

$2(9x^2+4y^2+6xy)=2$

$(3x+2y{)}^2+(3x{)}^2+(2y{)}^2=2⩾(2x+2y{)}^2+\frac{(3x+2y{)}^2}{2}$

所以

$2⩾\frac{3}{2}(3x+2y{)}^2$

$3x+2y⩽\frac{2\sqrt{3}}{3}$

$\mathrm{原}\mathrm{式}⩽2\sqrt{3}$

当 $3x=2y$ 时取到第一个等号。

法二，也是将 $xy$ 消掉，利用权方和不等式凑出我们要的表达式。

$1=(3x+y{)}^2+3y^2=\frac{(3x+y{)}^2}{1}+\frac{y^2}{\frac{1}{3}}⩾\frac{(3x+y+y{)}^2}{\frac{1}{3}+1}$

进而 $3x+2y⩽\frac{2\sqrt{3}}{3}$

故而原式最大值为 $2\sqrt{3}$