15 题型技巧课：磁场临界问题 - 旋转圆

题型特征

粒子以各个方向以相同的速率射入磁场，轨迹圆的半径大小不变。

经过区域面积

第一、二张图中，轨迹圆的 $r$ 满足关系 $2r=R$

旋转轨迹圆，用轨迹圆的直径进行分析。

体积为一个轨迹圆用直径画出来的扇形面积 + 轨迹圆的一般面积。

射出点覆盖范围

图中黑色实线为射出点的覆盖范围。

当弦长为轨迹圆的直径时，粒子到达轨迹的最远点。

最短时间

轨迹圆大小固定，弦长越短，弦切角越小，时间也就最短。

利用几何关系找最短弦长。

利用弦长公式 $l=\frac{2mvsin\theta }{qB}$

当轨迹的圆心角为锐角时，$\mathrm{圆}\mathrm{心}\mathrm{角}=2\mathrm{弦}\mathrm{切}\mathrm{角}$

最长时间

情况 1：磁场不够大，不可能存在优弧

找最长弦长，

利用弦长公式 $l=\frac{2mvsin\theta }{qB}$，

当轨迹的圆心角为锐角时，$\mathrm{圆}\mathrm{心}\mathrm{角}=2\mathrm{弦}\mathrm{切}\mathrm{角}$

情况 2：磁场足够大，可能存在优弧

找最短弦长， 因为当圆心角为钝角时，$\mathrm{圆}\mathrm{心}\mathrm{角}=360-2\mathrm{弦}\mathrm{切}\mathrm{角}$，弦长越短，弦切角越小，圆心角就越大，时间就越长。

利用弦长公式 $l=\frac{2mvsin\theta }{qB}$，

例题

题 1

解

$C$

题 2

解

1. $\frac{1}{6}$

$2r_1=R,r_1=\frac{R}{2}$

2. $\frac{1}{3}$

$r_2=\frac{\sqrt{3}}{2}R$

$\frac{v_2}{v_1}=\frac{r_2}{r_1}=\sqrt{3}$

$C$

题 3

解

$r=\frac{mv}{qB}$

$r=\frac{\sqrt{3}}{2}L$

弦长公式：

$\frac{\sqrt{3}}{2}L=\frac{2mvsin\theta }{qB}$

$sin\theta =\frac{1}{2}$

$\theta ={30}^{\circ }$

$t=\frac{60}{360}\frac{2\pi m}{qB}=\frac{\pi m}{3qB}$

$B$

题 4

解

$C$