09 等时圆问题

题型特征

物体从静止开始，沿竖直圆的弦下滑，光滑无摩擦，分析时间。

等时圆模型

需要满足三个条件：

1. 竖直圆
2. 过最高点或最低点的弦长为光滑的（一定过最高点或最低点）
3. 初速度为 0

那么有结论，它们下滑轨道的时间相等。

设底部的顶角为 $\theta$，那么小球走过的位移为 $x=2Rsin\theta$

而小球的加速度为 $a=\frac{mgsin\theta }{m}=gsin\theta$

所以根据 $x=\frac{1}{2}a{t}^2$

$2Rsin\theta =\frac{1}{2}gsin\theta t^2$

$t=\sqrt{\frac{4R}{g}}$

等时圆结论

例题

题 1

解

$D$

题 2

解

$t=\sqrt{\frac{4R}{g}}$

所以 $A$ 最先到达。

$A$

题 3

解

过 A 点做 BC 的平行线。

那么 $t_1=t^{\prime }$

而 $t^{\prime }<t^2$

所以 $B$

题 4

TIP

等时葫芦模型。

就算图中的角度没有，也是可以做出来的。

解 1

$a=gsin\theta$

$x=2Rsin\theta +2rsin\theta$

$=(2R+2r)sin\theta$

$(2R+2r)sin\theta =\frac{1}{2}gsin\theta t^2$

$t=\sqrt{\frac{(4R+4g)}{g}}$

解

$AB=\sqrt{3}(R+r)$

$CD=R+r$

$O_{AB}-l=2(R+r)$

$O_{CD}-l=2(R+r)$

所以 $B$