04 三角恒等变换上（基础）

说说

$\mathrm{恒}\mathrm{等}\mathrm{变}\mathrm{换}⟹\mathrm{角}\mathrm{和}\mathrm{与}\mathrm{差}\mathrm{公}\mathrm{式}⟹\{\begin{array}{l}\mathrm{辅}\mathrm{助}\mathrm{角}\mathrm{公}\mathrm{式}\\ \mathrm{二}\mathrm{倍}\mathrm{角}\mathrm{公}\mathrm{式}\end{array}$

如果已知一个角的正弦，那么可以求出：

• 这个角的余弦和正切
• 二倍角的余弦和正弦和正切
• 一半角的正弦和余弦和正切

比如已知 $sin\alpha =\frac{4}{5},\mathrm{且}\alpha \in (0,\frac{\pi }{2}).$

那么我们可以求出 $cos\alpha =\frac{3}{5}$。

$sin2\alpha =2sin\alpha cos\alpha =2\cdot \frac{4}{5}\cdot \frac{3}{5}=\frac{24}{25}$

$cos2\alpha =co{s}^2\alpha -si{n}^2\alpha =\frac{9}{25}-\frac{16}{25}=-\frac{7}{25}$

$sin\frac{\alpha }{2}=\sqrt{\frac{1-cos\alpha }{2}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$

正切的一半角不好直接反求，因为有二次。所以可以使用一半角的正弦、余弦来解。 $tan\frac{\alpha }{2}=\frac{sin\frac{\alpha }{2}}{cos\frac{\alpha }{2}}=\frac{1}{2}$

没学过三倍角，也可以看成是一个二倍角和一倍角的和。 $sin3\alpha =sin(2\alpha +\alpha )=sin2\alpha cos\alpha +cos2\alpha sin\alpha =\frac{44}{125}$

例题

已知 $sin(\frac{\pi }{6}-\alpha )=\frac{1}{3}$，则 $cos(\frac{2\pi }{3}+2\alpha )=?$

解：

当看不出啥关系时，使用换元法，答案自然会显现。

令 $\frac{\pi }{6}-\alpha =x$

那么 $\alpha =\frac{\pi }{6}-x$

则题目变成已知 $sinx=\frac{1}{3}，\mathrm{则}cos(\pi -2x)$ 的值为？

$\therefore cos(\pi -2x)=-cos2x=-(1-2si{n}^{2}x)$

$=-1+2si{n}^{2}x=-\frac{7}{9}$