难度： 困难

标签： 长除法余弦定理角平分线定理相似三角形辅助线解三角形

是否做正确： 做错了

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

如图，在 $\mathrm{△}ABC$ 中，$\mathrm{\angle }A={120}^{\circ },\mathrm{\angle }ABC=2\mathrm{\angle }ACD,AD=5,BC=14$，求 AC 的长。

解：

解

设 $AC=m,BD=n$

$\because \mathrm{\angle }ABE=\mathrm{\angle }ACD$

$\mathrm{\angle }BAE=\mathrm{\angle }CAD$

所以根据相似三角形，

$\frac{AE}{n+5}=\frac{5}{m}$

$\therefore AE=\frac{5(n+5)}{m}$

$CE=\frac{m^2-5(n+5)}{m}$

根据角平分线定理，

$\frac{AE}{BA}=\frac{CE}{BC}$

$\frac{5(n+5)}{m(n+5)}=\frac{m^2-5(n+5)}{14m}$

$70=m^2-5(n+5)$

最后根据余弦定理，

$196=(5+n{)}^2+m^2+m(5+n)$

联立方程，

$\{\begin{array}{l}196=(5+n{)}^2+m^2+m(5+n)\\ 70=m^2-5(n+5)\end{array}$

选择将 5+n 用 m 表示。

$5+n=\frac{m^2-70}{5}$

$196=(\frac{m^2-70}{5}{)}^2+m^2+m(\frac{m^2-70}{5})$

两边同乘 25

$196\times 25=4900=m^4-140m^2+4900+25m^2+5m^3-350m$

$0=m^4+5m^3-115m^2-350m$

$0=m(m^3+5m^2-115m-350)$

利用适根法，可知 $m=10$ 为方程的一个根。接下来使用长除法。

$0=m(m-10)(m^2+15m+35)$

舍去负根，得 $m=10$

反思

在解三角形的过程中，有时候一些边长难免需要设一些未知数。

设未知数也是有技巧的，按照经验，一条边最好只设一个未知数，不要一条边的两段设为 x 和 y，这样可能会导致后面的方程很难解，比如两个未知数相乘、未知数在分母、一个未知数不能用另一个未知数表示等等。