09 零点推论

题型特征

例题 1

将初速度或末速度为 0 的匀变速直线运动等时间划分，求某段时间的位移。

比如题：

物体做初速度为零的匀加速直线运动，前 t 秒内的位移为 x，则第三个 t 秒内的位移是（）

$A.3x$

$B.4x$

$C.5x$

$D.7x$

解

C。

例题 2

将初速度或末速度为 0 的匀变速直线运动等距离划分，求某段距离的时间。

如题：

如图所示，光滑斜面 AE 被分成四个长度相等的部分，即 $AB=BC=CD=DE$，一物体从 A 点由静止释放（加速度不变），则下列说法正确的是（）

$A.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{从}A\mathrm{运}\mathrm{动}\mathrm{到}E\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{等}\mathrm{于}{v}_B$

$B.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{从}A\mathrm{到}\mathrm{达}\mathrm{点}B,C,D,E\mathrm{所}\mathrm{经}\mathrm{历}\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{之}\mathrm{比}\mathrm{为}1:4:9:16$

$C.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{从}A\mathrm{到}\mathrm{达}\mathrm{点}B,C,D,E$ 的速度之比为 $1:2:3:4$

$D.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{通}\mathrm{过}\mathrm{每}\mathrm{一}\mathrm{段}\mathrm{时}，\mathrm{其}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{增}\mathrm{量}\mathrm{均}\mathrm{相}\mathrm{等}$

零点推论解释

零点：

初速度为 0 的匀加速直线运动的起点，

或末速度为 0 的匀减速直线运动的终点。

零点推论适用范围：

初速度为 0 的匀加值或末速度为 0 的匀减直。

等时划分

1 段 t 的 x：$x=\frac{1}{2}a{T}^2$

2 段 t 的 x：$x=\frac{1}{2}a4T^2$

3 段 t 的 x：$x=\frac{1}{2}a9T^2$

4 段 t 的 x：$x=\frac{1}{2}a16T^2$

……

从 0 点开始数，0 到每段末尾的长度之比为：$1:4:9:16...$

等距划分

利用公式：$x=\frac{1}{2}a{T}^2$

从 0 点开始数，0 点到第 1 段末尾的时间：$T=\sqrt{\frac{2x}{a}}$

从 0 点开始数，0 点到第 2 段末尾的时间：$T=\sqrt{\frac{4x}{a}}$

从 0 点开始数，0 点到第 3 段末尾的时间：$T=\sqrt{\frac{6x}{a}}$

……

所以，从 0 点开始数，0 点到每段末尾的时间比为：

$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{4}...$

总结

零点推论就是把匀变速直线运动从 0 点开始等时/等距划分。

等时划分：

从 0 点数，0 点到每段末尾的距离之比为：$1^2:2^2:3^2:4^2...$

这也说明，从 0 点开始，每段的距离之比为：$1:3:5:7...$（每段呈奇数比）

等距划分：

从 0 点数，0 点到每段末尾的时间之比为：$\sqrt{1}:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{4}$

解题步骤

1. 找 0 点，画线段图
2. 等时划分标每段距离；等距划分标从 0 点到每段末尾时间

零点推论 vs 位移差公式

零点推论可以看作是位移差公式的一种特殊情况。

位移差公式：从任一点开始等时划分。

零点推论：从零点开始等时划分。

例题

例 1

一个物体从静止开始做匀加速直线运动，它在第 1s 内与第 2s 内的位移之比为 $x_1:x_2$，在走完第 1m 时与走完第 2m 时的速度之比为 $v_1:v_2$。下列说法正确的是（）

$A.x_1:x_2=1:3,v_1:v_2=1:2$

$B.x_1:x_2=1:4,v_1:v_2=1:\sqrt{2}$

$C.x_1:x_2=1:4,v_1:v_2=1:2$

$D.x_1:x_2=1:3,v_1:v_2=1:\sqrt{2}$

解

对于等时划分，第 1 段的 x 与 第 2 段的 x 之比为 $1:3$

对于等距划分，第 1 段的 x 与“0 到 第 2 段”的 t 之比为 $1:\sqrt{2}$

根据 $v=at$ 得，$v_1:v_2=1:\sqrt{2}$

选 $D$。

例 2

做匀减速直线运动的物体经 8s 停止，若在第 1s 内的位移是 30m，则最后 1s 内的位移是（）

$A.10m$

$B.5m$

$C.3m$

$D.2m$

解

等时划分，从 0 点开始，每段的比值为 $1:3:5:7...:2n-1$

所以第 1 段与第 8 的比为 $1:15$，所以 $30\times \frac{1}{15}=2m$

选 $D$

例 3

篮球架下的运动员原地垂直起跳扣篮，离地后重心上升的最大高度为 H。上升第一个 $\frac{H}{4}$ 所用的时间为 $t_1$，第四个 $\frac{H}{4}$ 所用的时间为 $t_2$。不计空气阻力，则 $\frac{t_2}{t_1}$ 满足（）

$A.1<\frac{t_2}{t_1}<2$

$B.2<\frac{t_2}{t_1}<3$

$C.3<\frac{t_2}{t_1}<4$

$D.4<\frac{t_2}{t_1}<5$

解

此题属于零点推论中的等距划分。

$\frac{t_2}{t_1}=\frac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{3}}=2+\sqrt{3}=3.\mathrm{几}$

所以选 $C$

例 4

如图所示，在水平面上固定着三个完全相同的木块，一子弹以水平碎度 $v_0$ 射入木块，若子弹在木块中做匀减速直线运动，当穿透第三个木块时速度恰好为零，则子弹依次射入每个木块时的速度 $v_1,v_2,v_3$ 之比和穿过每个木块所用的时间 $t_1,t_2,t_3$ 之比分别为（）

$A.v_1:v_2:v_3=1:2:3$

$B.v_1:v_2:v_3=\sqrt{3}:\sqrt{2}:1$

$C.t_1:t_2:t_3=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$

$D.t_1:t_2:t_3=(\sqrt{3}-\sqrt{2}):(\sqrt{2}-1):1$

解

$BD$

属于零点推论中的等距问题。

那么从 0 点开始，0 到每段末的时间 t 比为：$1:\sqrt{2}:\sqrt{3}$

$v=at$

所以选 $BD$

例 5

如图所示，光滑斜面 AE 被分成四个长度相等的部分，即 $AB=BC=CD=DE$，一物体从 A 点由静止释放（加速度不变），则下列说法正确的是（）

$A.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{从}A\mathrm{运}\mathrm{动}\mathrm{到}E\mathrm{的}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{等}\mathrm{于}{v}_B$

$B.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{从}A\mathrm{到}\mathrm{达}\mathrm{点}B,C,D,E\mathrm{所}\mathrm{经}\mathrm{历}\mathrm{时}\mathrm{间}\mathrm{之}\mathrm{比}\mathrm{为}1:4:9:16$

$C.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{从}A\mathrm{到}\mathrm{达}\mathrm{点}B,C,D,E\mathrm{的}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{之}\mathrm{比}\mathrm{为}1:2:3:4$

$D.\mathrm{物}\mathrm{体}\mathrm{通}\mathrm{过}\mathrm{每}\mathrm{一}\mathrm{段}\mathrm{时}，\mathrm{其}\mathrm{速}\mathrm{度}\mathrm{增}\mathrm{量}\mathrm{均}\mathrm{相}\mathrm{等}$

解

$t_{AB}:t_{AC}:t_{AD}:t_{AE}=1:\sqrt{2}:\sqrt{3}:\sqrt{4}$

$t_{AE}=2$

$t_{AB}=1$

所以 B 点为 AB 时间的中间点。所以 A 对。

或则这样理解，$\overline{v_{AE}}=\frac{v_E+0}{2}=\frac{\sqrt{4}a}{2}=a$

$v_B=a$

所以 A 对。

B、C 错。

$\mathrm{\Delta }v=a\mathrm{\Delta }t$

时间增量不同，所以 D 错误。

选 $D.$

例 6

一个从静止开始做匀加速直线运动的物体，从开始运动起，连续通过三段位移的时间分别是 1s，2s，3s，这三段位移的长度之比和这三段位移上的平均速度之比分别是（）

$A.1:2^2:3^{2}1:2:3$

$B.1:2^3:3^{3}1:2^2:3^2$

$C.1:2:31:1:1$

$A.1:3:51:2:3$

TIP

时间不等，进行拆断重组。

解

$B$

还是看作等时划分。然后时间不等，进行拆断重组。

例 7

汽车刹车后做匀减速直线运动，经过 3.5s 后停止运动，那么，从开始刹车起连续的 3 个 1s 内汽车通过的位移之比为____。

解

$3:2:1$

拆成 7 段等时段，每段 0.5s。