01_三角函数

任意角和弧度制

角的分类

我们通常在直角坐标系内讨论角。为了方便，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合

弧长公式、扇形面积公式

TIP

• 注意扇形面积公式与三角形面积公式的不同。

三角形面积公式：$\frac{1}{2}absin\theta$。

• 且圆锥、圆台的侧面积其实也是由扇形面积公式推导出来的：

$S_{\mathrm{侧}}=\pi (r_{\mathrm{上}}+r_{\mathrm{下}})l$（$r_{\mathrm{上}}$ 为圆台的上底面的半径，圆锥为 0；$r_{\mathrm{下}}$ 为圆台的下底面的半径；$l$ 为圆台的母线长。）

以圆锥的侧面积为例，其实是 $S_{\mathrm{侧}}=\frac{1}{2}(2\pi r_{\mathrm{下}})l=\pi r_{\mathrm{下}}l$

利用单位圆定义任意角的三角函数

设 α 是一个任意角，α∈R，它的终边 OP 与单位圆相交于点 P(x,y).

我们将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为：

三角函数值在各象限的符号

诱导公式（变换公式）

最基础根据周期变换 1

反过来同理。

最基础根据周期变换 2

函数名变换、加减 $\pm \pi$ 变换

简单三角函数主动变形为复杂三角函数：

我们一开始假设认为 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$，那么 $sinx,cosx\in (0,1)$。所以经过变形后的 $sinx,cosx$ 也要是大于 0 的。

1. $\pm \pi$，不改变三角函数名

不管 sinx 还是 cosx，$\pm \pi$ 后只有符号都会改变，所以只需要在前面添一个负号。

$sinx=-sin(x\pm \pi )$

$cosx=-cos(x\pm \pi )$

2. 三角函数名变换法一（奇变偶不变，符号看象限）

$cosx$ 的 $x$ 加上 $\frac{\pi }{2}$ 后 $cosx$ 变为 $cos(x+\frac{\pi }{2})=-sinx$

……

$sinx=-cos(x+\frac{\pi }{2})$

$cosx=sin(x+\frac{\pi }{2})$

3. 三角函数名变换法二（简单易想不易错）

• $sinx=cos(\frac{\pi }{2}-x)$

  • $=cos(x-\frac{\pi }{2})$（偶函数性质）
  • $=-cos(x+\frac{\pi }{2})$

• $cosx=sin(\frac{\pi }{2}-x)$

  • $=-sin(x-\frac{\pi }{2})$（奇函数性质）
  • $=sin(x+\frac{\pi }{2})$

同角三角函数的基本关系

基本关系式的变形公式：

图象与性质

1 正弦函数的图象

(1) 正弦函数 y=sin x,x∈R 的图象 (图 5.4.1-1)

(2) 五点 (画图) 法

2 余弦函数的图象

(1) 图象变换法作余弦函数的图象

(2) 五点法作余弦函数的图象

图象与性质

弦型函数 y=Asin(wx+φ) 及余弦型函数 y=Acos(wx+φ) 的性质

函数 y=Asin(wx+φ) 和 y=Acos(wx+φ)(A≠0) 的性质

三角函数的最值与单调性、奇偶性、周期性的联系

函数周期性的探究

解题应用

函数图象的识别问题

例题

TIP

• $\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+x}$

像这种有可以改变符号、改变倒数的形式，常常出现在 $ln$ 函数、对数函数中。因为它们可以用来变形，从而得出奇函数、偶函数的结论。

Details

利用图象解决与函数零点或图象交点个数有关的问题

例题

TIP

看来不能直接将 x 令为 -x, x^2 啥的。容易蒙圈。就令一个新变量 t，然后得出新变量 t 的范围，从而得出关于 t 的函数的图像。在与 $f(x)$ 函数的图像进行比较。只不过把 t 与 x 认作是在相同的坐标系下的自变量。

Details

化为 f(sin x) 或 g(cos x) 型函数求值域 (或最值)

例题

Details

单调性问题

例题 1

Details

复合函数的同增异减

例题 2

法一

法二 特殊值法

奇偶性与对称性问题

三角函数奇偶性问题的解题思路

例题

Details

正切函数的性质与图象

正切函数的图象及性质

TIP

(1) 正切函数在定义域上不具备单调性，因此不能说函数在其定义域上是单调递增函数.

三点两线法作正切曲线的简图

正切型函数的性质

三角恒等变换

三角恒等变换思想——角的代换、常值代换、辅助角公式 (收缩代换)

1 角的代换

代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出。

常用的角的代换形式：

2 常值代换

3 辅助角公式 (收缩代换)

例题 1

Details

二倍角的正弦、余弦、正切公式

倍角公式

化和差与和差化积公式

1 积化和差公式

2 和差化积公式

万能公式

函数 y=Asin(wx+φ)

φ,w,A 对函数 y=Asin(ax+φ) 的图象的影响

1 φ对 y=sin(x+φ) 的图象的影响

2 w(w>0) 对 y=sin(wx+φ) 的图象的影响

3 A(A>0) 对 y=Asin(wx+φ) 的图象的影响

例题 1

Details

4 由函数 y=sin x 的图象得到函数 y=Asin(wx+φ)(A>0,w>0) 的图象

函数 y=Acos(wx+φ) 的图象

例题 1

例题 2

Details

TIP

例题 3

Details

TIP

三角函数的应用

函数 y=Asin(wx+φ),x∈[0,+∞](其中 A>0,w>0) 中各量的物理意义（相位，初相）

https://www.zhihu.com/question/31104681

相位可以理解为就是 $Asin\theta$ 的 $\theta$ 角。只不过 $\theta =\omega x+\phi$。

初相就是 $x=0$ 时，只剩下的 $\phi$