02 等差数列的前 n 项和

说说

若 $a_n$ 是等差数列，$p,q,m,n\in N^{\ast }$，且 $p+q=m+n$，则有

$a_n+a_q=a_m+a_n$

例如 $a_3+a_7=a_1+a_9$

求和公式

推导

采用倒序相加法

$S_n=a_1+a_2+a_3+...+a_n$

$S_n=a_n+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_1$

$2S_n=(a_1+a_n)+(a_2+a_{n-1})+(a_3+a_{n-2})+...+(a_n+a_1)=n(a_1+a_n)$

$S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}$

$S_n=\frac{a_1+a_1+(n-1)d}{2}n=n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}$

记住等差数列的三种形式！

$\{\begin{array}{l}{S}_n=\frac{(a_1+a_n)n}{2}\\ S_n=n{a}_1+\frac{n(n-1)d}{2}\\ S_n=n[a_1+\frac{n-1}{2}d]\end{array}$

例题

例题 1

等差数列 $a_n$ 中，已知 $a_7=9,S_5=5$，则 $S_8$ 的值是（）

$A.23$

$B.30$

$C.32$

$D.34$

解：

$\{\begin{array}{l}{a}_7=a_1+6d=9\\ S_5=5a_1+\frac{5\times 4}{2}d=5\end{array}$

$a_1=-3,d=2$

$S_8=8a_1+\frac{8\times 7}{2}d=-3\times 8+28\times 2=32$

$C.$

例题 2

已知 $a_n$ 为等差数列，$a_3=52,a_1+a_4+a_7=147$，$a_n$ 的前 n 项和为 $S_n$，则使得 $S_n$ 达到最大值时 $n$ 是（）

$A.19$

$B.20$

$C.39$

$D.40$

解：

$\{\begin{array}{l}{a}_1+2d=52\\ a_1+a_1+3d+a_1+6d=147\end{array}$

$d=-3,a_1=58$

一直加正数，肯定增大。当加负数时，开始减小。

因为 $a_{20}=-3\times 20+61=1>0$

$a_{21}=-3\times 21+61=-2<0$

所以最大为 $S_{20}$