难度： 困难

标签： 圆锥曲线定点定值问题椭圆斜率和问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

解（1）

由题意知，$P_1(-2,1),P_2(0,\sqrt{2}),P_3(2,1)$ 在椭圆上

$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$

$b=\sqrt{2}$

$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{2}=1,\frac{4}{a^2}=\frac{1}{2}$

$a^2=8$

$C:\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1$

解（2）

设直线 MN 为 $y=kx+m$

$M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$

$\frac{y_1-\sqrt{2}}{x_1}+\frac{y_2-\sqrt{2}}{x_2}+2k=0$

$\frac{k{x}_1+m-\sqrt{2}}{x_1}+\frac{k{x}_2+m-\sqrt{2}}{x_2}+2k=0$

$k+\frac{m-\sqrt{2}}{x_1}+k+\frac{m-\sqrt{2}}{x_2}+2k=0$

$4k+(m-\sqrt{2})\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=0$

$\{\begin{array}{l}y=kx+m\\ \frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{2}=1\end{array}$

$x^2+4y^2-8=0$

$x^2+4(kx+m{)}^2-8=0$

$(4k^2+1)x^2+8kmx+4m^2-8=0$

$x_1+x_2=\frac{-8km}{4k^2+1},x_1{x}_2=\frac{4m^2-8}{4k^2+1}$

$4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4m^2-8}=0$

注意，分子分母能约分。这个约掉的，其实是不合题意的那么 m 值

$=4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4(m^2-2)}=4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4(m+\sqrt{2})(m-\sqrt{2})}$

$=4k+\frac{-8km}{4(m+\sqrt{2})}$

$=4k+\frac{-2km}{m+\sqrt{2}}=0$

$4k=\frac{2km}{m+\sqrt{2}}$

$2=\frac{m}{m+\sqrt{2}}$

$m=-2\sqrt{2}$

m 代表我们设的直线的纵截距。

所以存在两点 M，N。定点为 $(0,-2\sqrt{2})$。

TIP

过平面内任意一点 $P(x_0,y_0)$，到椭圆上的两点 $M(x_1,y_1),N(x_2,y_2)$ 可以形成直线 $PM$ 和 $PN$。

设直线 $MN$ 的表达式为 $y=kx+m$，那么直线 $PM$ 和 $PN$ 的斜率都可以用含 $k$ 的式子表示。

$k_{PM}=\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}=\frac{k{x}_1+m-y_0}{x_1-x_0}$

$k_{PN}=\frac{y_2-y_0}{x_2-x_0}=\frac{k{x}_2+m-y_0}{x_2-x_0}$

有一个点在椭圆上时，会有的计算技巧

如果一个点在椭圆上面，然后另外两个点也在椭圆上面，然后求两条直线的斜率之和 $k_1+k_2$ 时，

一定能写出这种式子 $4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4m^2-8}=0$，

然后这种式子的分子和分母一定能约分。这个约掉的，其实是不合题意的那么 m 值。 比如这里：

$4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4m^2-8}=0$

$=4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4(m^2-2)}=4k+(m-\sqrt{2})\frac{-8km}{4(m+\sqrt{2})(m-\sqrt{2})}$

但如果 P 点不在椭圆上，就不一定能约分。 能约分的话，就好算一点。