难度： 困难

标签： 均值不等式柯西不等式

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

a 和 b 均为正实数，则 $\frac{2a+b}{a+2b}+\frac{a+b}{2a+b}$ 的最小值为？

方法一，分母双换元

令 $a+2b=m,2a+b=n$

则 $m+n=3a+3b,,a+b=\frac{m+n}{3}$

所以 $\mathrm{原}\mathrm{式}=\frac{n}{m}+\frac{\frac{m+n}{3}}{n}$

$=\frac{n}{m}+\frac{m+n}{3n}$

$=\frac{n}{m}+\frac{m}{3n}+\frac{1}{3}$

$⩾2\sqrt{\frac{1}{3}}+\frac{1}{3}$