12 考点 - 裂项相消法 (重要)(中档)

最简单的裂项相消

$\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{n(n+1)}$

因为 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

$=(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+...+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$

$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$

分母同时两个相乘

如果遇到分母同时两个相乘的，就可以考虑使用列项相消。

有时候裂项后分子可能变大或变小，这时可以再乘或除以一个数使得和原式等价。

比如 $\frac{1}{n(n+2)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})$

$S_n=\frac{1}{2}[1-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}-\frac{1}{4}+\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{4}-\frac{1}{6}+...+(\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1})+(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2})]$

可以发现开头有两个没有消掉，结尾有两个没有消掉。

$=\frac{1}{2}[1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}]$

$=\frac{1}{2}\frac{n+1}{n+2}$

例子

$a_n=\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}$

带根号

分母有理化。

$\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n+1}+\sqrt{n})(\sqrt{n+1}-\sqrt{n})}}$

三个连续相乘

$\frac{1}{n(n+1)(n+2)}$

公倍数为 $n(n+1)(n+2)$

$=\frac{1}{2}[\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}]$

例题 1

已知数列 $\{a_n\}$ 满足 $\frac{1}{2a_1-5}+\frac{2}{2a_2-5}+\frac{3}{2a_3-5}+...+\frac{n}{2a_n-5}=\frac{n}{3}$

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

(2) 设数列 $\{\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}\}$ 的前 n 项和为 $T_n$ ，证明 $\frac{1}{22\le T_n<\frac{1}{6}}$

解：

（1）

$S_n=\frac{n}{3}$

$S_{n-1}=\frac{n-1}{3}$

$S_n-S_{n-1}=\frac{n}{2a_n-5}=\frac{1}{3}$

$a_n=\frac{3n+5}{2}$

(2)

$\frac{1}{a_n{a}_{n+1}}=\frac{4}{(3n+5)(3n+8)}$

$=\frac{4}{3}(\frac{1}{3n+5}-\frac{1}{3n+8})$

$T_n=\frac{4}{3}[...]$

$=\frac{4}{3}[\frac{1}{8}-\frac{1}{3n+8}]$