01_提能力·专题归纳

专题 1 高考中的重要模型——鳖膈

中国古代数学强调实用性，很多古代数学问题都结合实际生 活存在于典籍中。其中在对立体几何的研究中最重要的模型 便是由立方体截得的三棱锥和四棱锥，它们在古代有专门的 名词：鳖膈和阳马.2015 年湖北高考便以此为背景命题，一时 间引起了广泛的关注。

1 考题再现

例 1

2 教材探源

3 鳖膈的来源探索

4 鳖膈的性质

(1) 聚焦于立体几何中的核心关系——垂直关系

例 2

(2) 鳖膈的空间角

例 3

5 鳖膈模型在高考中的应用

鳖膈模型覆盖了立体几何中线、面的各种垂直关系及各种空 间角的计算，是研究立体几何问题的基本图形，在高考中有着 广泛的应用。

例 4

例 5

专题 2 翻折视角下的全国卷立体几何试题

高考全国卷中，立体几何重视考查几何元素间的位置关系、度 量关系。回顾和审视全国卷历年试题的命制，我们发现有一条 清晰的脉络，那就是特别重视基本平面几何图形性质的空间 探索，也即特别重视平面图形翻折前后的几何元素间的位置 关系、度量关系的变与不变的考查。这样命题有助于充分考查 考生的空间想象能力，有助于从熟悉的平面图形要素的位置 关系进入到空间几何体的几何要素关系的把握上

1 筝形的翻折

筝形是指以一条对角线所在直线为对称轴的四边形，与菱形 定义相对应。菱形是特殊的筝形。筝形的一条对角线所在的直 线垂直平分另一条对角线. 在筝形从平面到空间变换的研究中，常常沿着其中一条对角 线进行翻折。在翻折过程中，两条对角线垂直关系保持不变，这 就成为高考试题命制的基础，常常利用两个对应的等腰三角 形来描述空间筝形。这样的高考试题极为丰富

例 6

例 7

2 梯形的翻折

梯形是学生较为熟悉的平面四边形，虽然初中阶段依然弱化 对梯形的性质研究，但在高中阶段，其仍然是重要的平面四边 形 (当然也可以从图形拼接的角度来看待梯形),其中，等腰梯 形和直角梯形是重要的研究对象

2.1 等腰梯形的翻折

等腰梯形的翻折主要强调对腰的翻折，也即保持底面的矩形 特征，两腰向中间翻折，而这里面就有两底的端点是否合拢的 问题。下面我们以高考试题为例分别研究上述两类问题。

例 8

例 9

例 10

3 矩形 (正方形) 的翻折

类比于筝形，在图形沿着对角线 BD 或者 CF 翻折过程中，垂直 关系始终保持不变，而这就是命题的落脚点。近几年全国卷高 考题也进行了正方形的翻折研究

例 11

例 12

例 13

专题 3 以模型为载体解决空间几何体的外接球问题

球是特殊的几何体，具有很多特殊的性质。空间几何体的外接 球问题是高考的热点和难点。以考查学生的空间想象能力为 主线，结合边角关系、位置关系、面积与体积的计算，从而达到 培养学生直观想象的核心素养的要求。从教学实践中发现学 生在研究空间几何体的外接球问题时常常因缺乏空间想象力 而感到束手无策，其根本原因是学生没有形成解题的模式和 套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理。以下结合教学 实例，给出解空间几何体外接球问题的三种模型及其方法

模型一 墙角模型 (三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径)

例 14

模型二 汉堡模型 (直棱柱的外接球、圆柱的外接球)

例 15

模型三 切瓜模型 (正弦定理求大圆直径是通法)

例 16