难度： 中等

标签： 权方和不等式最值问题

是否做正确： 未标明

是否属于易错题： 未标明

如果做错原因可能是： 未标明

TIP

没有分式，但是有公因式，也可以考虑使用权方不等式

证明：$a^5+b^5+c^5⩾a^{3}bc+b^{3}ac+c^{3}ab$

证明

$a^5+b^5+c^5⩾abc(a^2+b^2+c^2)$

$\frac{a^4}{bc}+\frac{b^4}{ac}+\frac{c^4}{ab}⩾a^2+b^2+c^2$

根据权方不等式，得

$\frac{a^4}{bc}+\frac{b^4}{ac}+\frac{c^4}{ab}⩾\frac{(a^2+b^2+c^2{)}^2}{ab+bc+ac}$

我们只需证明

$\frac{(a^2+b^2+c^2{)}^2}{ab+bc+ac}⩾a^2+b^2+c^2$

$a^2+b^2+c^2⩾ab+bc+ac$

两边同乘 2，利用基本不等式可得证。