06 抛物线习题课（基础）

例题 1

已知抛物线 $x^2=2py$ 上一点 $A(m,1)$ 到其焦点的距离为 $p$，则 $p=()$。

$A.2$

$B.-2$

$C.4$

$D.-4$

解：

因为题目没有说 $p$ 的正负，所以不确定开口是向上还是向下。

因为点 $A(m,1)$ 在抛物线上，所以 $p>0$，开口向上。

有抛物线的定义可得

$p=\frac{p}{2}+1$

$p=2$

答案选 $A$.

例题 2

已知抛物线 $C:y^2=4x$ 的焦点为 $F$，过点 $F$ 的直线与抛物线 $C$ 的两个交点分别为 $A,B$，且满足 $\overrightarrow{AF}=2\overrightarrow{FB}$，$E$ 为 $AB$ 的中点，则点 $E$ 到抛物线准线的距离为（）

$A.\frac{11}{4}$

$B.\frac{9}{4}$

$C.\frac{5}{2}$

$D.\frac{5}{4}$

解：

设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$。

要求的距离 $d=\frac{x_1+x_2+p}{2}=\frac{x_1+x_2+2}{2}$

$\overrightarrow{AF}=(1-x_1,-y_1)$

$\overrightarrow{FB}=(x_2-1,y_2)$

$1-x_1=2x_2-2$

$-y_1=2y_2$

$y_1^2=4y_2^2$

$4x_1=4\cdot 4x_2$

解得 $x_2=\frac{1}{2},x_1=2$

$x_1+x_2=\frac{5}{2}$

$d=\frac{9}{4}$

例题 3

已知抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点为 $F$，$A$ 为 $C$ 上一点且在第一象限，以 $F$ 为圆心，$FA$ 为半径的圆交 $C$ 的准线与 $B,D$ 两点，且 $A,F,B$ 三点共线，则直线 $AF$ 的斜率为（）

$A.\frac{\sqrt{3}}{3}$

$B.\frac{\sqrt{2}}{2}$

$C.\sqrt{2}$

$D.\sqrt{3}$

解：

$D.$

例题 4

已知点 $F$ 为抛物线 $C:y^2=2px(p>0)$ 的焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 交于 $A,B$ 两点，与 $C$ 的准线交于点 $M$，若 $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{0}$，则 $|AB|$ 的值等于（）

$A.\frac{3}{4}p$

$B.2p$

$C.3p$

$D.\frac{9}{4}p$

解：

$B.$