22 题型技巧课：类平抛电场 + 磁场

题型特征

$v_0\perp E$ 进入匀强电场，再进入匀强磁场。大题。

思路分析

根据电场求出粒子进入磁场时的速度和弦切角。

核心方程

求 $E,x,y,v_0$

$Eq=ma$

$x=v_{0}t$

$y=\frac{1}{2}a{t}^2$

求弦切角

$x=v_{0}t$

$y=\frac{v_y}{2}t$

$tan\theta =\frac{v_y}{v_0}=\frac{2y}{x}$

进入磁场的速度 $v_t$

$v_t=\frac{v_0}{cos\theta }$

例题

题 1

解

（1）

$2L=v_{0}t$

$\sqrt{3}L=\frac{1}{2}a{t}^2$

$a=\frac{Eq}{m}$

$t=\frac{2L}{v_0}$

$\sqrt{3}L=\frac{1}{2}\frac{Eq}{m}\frac{4L^2}{v_0^2}$

$E=\frac{\sqrt{3}m{v}_0^2}{2qL}$

求 v。

$2L=v_{0}t$

$\sqrt{3}L=\frac{v_y}{2}t$

$tan\theta =\frac{v_y}{v_0}=\sqrt{3}$

$\theta ={60}^{\circ }$

$v=\frac{v_0}{cos\theta }=2v_0$，与 x 正方向夹 60 度角。

（2）

$r=\frac{2L}{\sqrt{3}}$

$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$

$B=\frac{mv}{qr}=\frac{2m{v}_0}{q\frac{2L}{\sqrt{3}}}=\frac{\sqrt{3}m{v}_0}{qL}$

题 2

TIP

利用弦长公式，不用求出具体的弦切角，只需要知道其正弦、余弦值就可以了。

解

（1）

$x=v_{0}t$

$h=\frac{1}{2}a{t}^2$

$a=\frac{Eq}{m}$

$h=\frac{1}{2}\frac{Eq}{m}{t}^2$

$t=\sqrt{\frac{2mh}{Eq}}$

$x=v_0\sqrt{\frac{2mh}{Eq}}$

（2）

$\frac{L}{2}=rsin\theta$

$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$

$r=\frac{mv}{qB}$

$L=\frac{2mvsin\theta }{qB}=\frac{2m{v}_y}{qB}$

$v_y=at=\frac{Eq}{m}\sqrt{\frac{2mh}{Eq}}=\sqrt{\frac{2hEq}{m}}$

$L=\frac{2m}{qB}\sqrt{\frac{2hEq}{m}}=\frac{2}{B}\sqrt{\frac{2hEm}{q}}$

题 3

解

（1）

$\frac{v_y}{v_0}=tan\theta$

$2x=v_{0}t$

$x=\frac{v_y}{2}t$

$\frac{v_y}{v_0}=1$

$\theta ={45}^{\circ }$

$v=\sqrt{2}{v}_0$

与 x 正方向夹 45 度。

（2）

$OP=2x$

$OF=x$

$r=\sqrt{2}x$

$qvB=\frac{m{v}^2}{r}$

$B=\frac{mv}{qr}$

$=\frac{\sqrt{m}{v}_0}{\sqrt{2}qx}$

$=\frac{m{v}_0}{qx}$

接下来，

$2x=v_{0}t$

$x=\frac{1}{2}a{t}^2$

$a=\frac{Eq}{m}$

$t=\frac{2x}{v_0}$

$x=\frac{1}{2}\frac{Eq}{m}\frac{4x^2}{v_0^2}$

$E=\frac{m{v}_0^2}{2qx}$

$\frac{E}{B}=\frac{v_0}{2}$

题 4

解

（1）

$2h=v_{0}t$

$h=\frac{1}{2}a{t}^2$

$a=\frac{Eq}{m}$

$E=\frac{m{v}_0^2}{2qh}$

（2）

$tan\theta =\frac{v_y}{v_0}$

$2h=v_{0}t$

$h=\frac{v_y}{2}t$

$tan\theta =1$

$v_a=\sqrt{2}{v}_0$

与 x 正方向夹 45 度。

（3）

$r=\frac{mv}{qB}$

恰从 b 出时，r 最大，B 最小。

$r=\frac{\sqrt{2}}{2}L$

$qvB=\frac{m{v}_a^2}{r}$

$B=\frac{m{v}_a}{rq}=\frac{\sqrt{2}m{v}_0}{\frac{\sqrt{2}}{2}Lq}=\frac{2m{v}_0}{qL}$

题 5

解

（1）

$tan\theta =\frac{v_y}{v_0}$

$2\sqrt{3}L=v_{0}t$

$L=\frac{v_y}{2}t$

$\frac{v_y}{v_0}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

$\theta ={30}^{\circ }$

由几何关系得，$MQ\mathrm{为}\mathrm{直}\mathrm{径}，$OM=\sqrt 3 OQ=\sqrt 3\times 2\sqrt 3L=6L$

（2）

电场时间

$2\sqrt{3}l=v_0{t}_1$

$L=\frac{1}{2}a{t}_1^2$

$a=\frac{Eq}{m}$

$t_1=\sqrt{\frac{2Lm}{Eq}}$

$v_0=\sqrt{\frac{6Eql}{m}}$

$t_2=\frac{180}{360}\frac{2\pi r}{v}$

$r=OQ=2\sqrt{3}L$

$v=\frac{v_0}{cos{30}^{\circ }}=\frac{2}{\sqrt{3}}{v}_0=\frac{2}{\sqrt{3}}\sqrt{\frac{6Eql}{m}}$

$t_2=\pi \sqrt{\frac{3mL}{2Eq}}$

$t=t_1+t_2=\sqrt{\frac{2Lm}{Eq}}+\pi \sqrt{\frac{3ml}{2Eq}}$

$(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\pi )\sqrt{\frac{2lm}{Eq}}$